圓周率

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圓周率
圓周率
數表—無理數
<math>\color{blue}\sqrt{2}</math> - <math>\color{blue}\varphi</math> - <math>\color{blue}\sqrt{3}</math> - <math>\color{blue}\sqrt{5}</math> - <math>\color{blue}\delta_S</math> - <math>\color{blue}e</math> - <math>\color{blue}\pi</math>
File:Pi-unrolled-720.gif
識別
種類無理數
超越數
符號<math>\pi</math>
位數數列編號OEIS A000796
性質
定義<math> \pi = \frac{C}{d}.</math>，其中<math>C</math>為圓周界、<math>d</math>為直徑
<math>\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2
表示方式
值<math>\pi\approx</math>3.14159265
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.</math>

| root of=<math>e^{ix}+1 = 0</math> | 連分數=<math> \pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math> |series=<math>\pi = \sum_{k=0}^\infty\frac{4(-1)^k}{2k+1}</math>

| basedata = 二進制11.00100100001111110110…[1]十進制3.14159265358979323846…十六進制3.243F6A8885A308D31319…[2]: 242 六十進制3;8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,36…[3][4]

}}

各式各樣的數
基本

<math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math> File:NumberSetinC.svg

延伸
其他

圓周率 <math>\pi = 3.14159265 </math>…
自然對數的底 <math>e = 2.718281828 </math>…
虛數單位 <math>i = \sqrt{ k\in\mathbb Z\}</math>，

并且其中包括独特的正实数<math>\pi</math>。[15][21]

基于同样想法但更抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：[22]存在唯一的从加法模数整数组成的实数群R/Z到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字π定义为此同态派生的模的一半。[23]

周长固定，圆会围成最大面积，π同樣表述为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，π作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。

无理及正规性[編輯]

<math>\pi</math>是无理数，无法表示成两整数之比的形式（形如<math display="inline">\frac{22}{7}</math>的分数常用来近似表达<math>\pi</math>，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到<math>\pi</math>的精确值）。[2]: 5 由于<math>\pi</math>是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数，这些证明也都要用到微积分学和反证法。<math>\pi</math>可以用有理数来近似的程度還無法準確得知（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比<math>e</math>或<math>\ln(2)</math>的要大，但是小於刘维尔数的無理性度量[24]。

統計隨機性（英语：statistical randomness）检验，包括正规数检验，可验证<math>\pi</math>的位數沒有明顯的固定模式。<math>\pi</math>的小数中任意固定长度的序列（如3位數000，001……999）出現機率都相同[25]。不過有關<math>\pi</math>是正规数的猜想既無證明，亦無否證[2]: 22–23 [25]。

電腦出現後可生成大量<math>\pi</math>的不同位数，并統計分析之。金田康正詳細統計分析了<math>\pi</math>的十進制數字，并验证了其分布正规：例如，假設檢定0到9十個數的出現頻率，找不到有特定重复规律的證據[2]: 22, 28–30 。根據無限猴子定理，任何任意長度、由隨機內容組成的子序列看起來都有可能像不隨機生成。因此，就算<math>\pi</math>的小数序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有规律可循而非隨機数，例如<math>\pi</math>的十進制写法在小數第762位后开始出现了連續六個9[2]: 3 。

超越性[編輯]

A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi
由于<math>\pi</math>是超越數，不能利用尺规作图化圓為方。

<math>\pi</math>不仅是无理数，还是超越数，即<math>\pi</math>不是任何有理系数多项式的根。（比方说，试图解有限项方程<math display="inline">\frac{x^5}{120} - \frac{x^3}{6} + x = 0 </math>来求<math>\pi</math>的值）[26][註 1]

<math>\pi</math>的超越性衍生出一些重要的结果：<math>\pi</math>不能经有限次四则运算和开平方运算有理数来获得，因此不是规矩数。换言之，尺规作图作不出长度为<math>\pi</math>的线段，也就不可能用尺规方法做出与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圓為方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人数千年之久[27][28]。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这问题[29]。

连分式[編輯]

<math>\pi</math>像所有无理数一样无法表示成分数，但<math>\pi</math>等全部无理数都能表示成一系列叫连分数的连续分数形式：

<math>

\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>

在这连分数的任意一点截断化简，都能得到π的近似值；前四位近似值是3、<math>\frac{22}{7}</math>、<math>\frac{333}{106}</math>、<math>\frac{355}{113}</math>。这些数在历史上是<math>\pi</math>最广为人知且广為使用的几个近似值。用以上方式得出的<math>\pi</math>的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近<math>\pi</math>。[30]<math>\pi</math>是超越数，据定义来说它不是代數數，又因此不可能是二次無理數；是故<math>\pi</math>不能表示为循环连分数。尽管<math>\pi</math>的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，[31]数学家發現了数條广义连分数能表示<math>\pi</math>，例如：[32]

<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}

=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}} =\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>

近似值[編輯]

圆周率近似值包括：

  • 整数：3
  • 分数（依准确度顺序排列）：<math>\frac{13}{4}</math>、<math>\frac{16}{5}</math>、<math>\frac{19}{6}</math>、<math>\frac{22}{7}</math>、<math>\frac{179}{57}</math>、<math>\frac{267}{85}</math>、<math>\frac{333}{106}</math>、<math>\frac{355}{113}</math>、<math>\frac{52163}{16604}</math>、<math>\frac{53228}{16943}</math>、<math>\frac{55358}{17621}</math>、<math>\frac{57843}{18412}</math>、<math>\frac{60328}{19203}</math>、<math>\frac{103993}{33102}</math>、<math>\frac{245850922}{78256779}</math>[30]（选自 A063674 及 A063673。）
  • 小數（整数后首100位）：3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...[2]: 240 （另见 A000796）

其他进位制的近似值

  • 二进制（整数后首48位）：11.001001000011111101101010100010001000010110100011…
  • 十六进制（整数后首20位）：3.243F6A8885A308D31319…[2]: 242 
  • 六十进制（整数后首20位）：3;8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,36,17,43,4,29,7,10,3,41,17…[3][4]

复数与欧拉恒等式[編輯]

在复平面上以原点为圆心的单位圆内，一条射线从圆心出发至圆的边上，以此射线与圆的边的交点作与x轴的垂线并标注了夹角φ和sinφ、cosφ函数
欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原點为圆心的单位圆上的点之间的关系。

任何复数（以<math>z</math>为例）都可以表示为一组实数对：极坐标系用实数<math>r</math>表示半径，代表复平面上复数<math>z</math>离原點的距离；实数<math>\varphi</math>则表示夹角，即这条半径（复平面上复数<math>z</math>与原点的连线）与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来，<math>z</math>就可写成[33]

<math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>，这里<math>i</math>代表虛數單位，即<math>i^2=-1</math>。

复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起[34]：

<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi</math>，这里数学常数e是自然對數的底数。

欧拉公式确立了<math>e</math>的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当<math>\varphi=\pi</math>时，欧拉公式就能改写为歐拉恆等式的形式：

<math>{ {{ {e}^{{ {i}\, {\pi} }} }}+{1} } = 0 </math>。此等式亦稱“最奇妙的数学公式”（英語：the most remarkable formula in mathematics），全因它将五个最基本的数学常数简洁联系起来[34][35]。

欧拉等式亦可用于求出方程<math>z^n=1</math>的<math>n</math>个不同复数根（这些根叫做<math>n</math>次单位根”[36]），可以根据以下公式求得：

<math>e^{ \frac{2 \pi i k}{n}} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)</math>。

谱特征[編輯]

File:Harmonic partials on strings.svg
震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數，會形成泛音列。對應的本徵值會形成由π整數倍組成的等差数列

<math>\pi</math>常出现在有关几何的问题中。然而，不少和几何无关的问题也可看到<math>\pi</math>的身影。

<math>\pi</math>在許多用處中都會以特征值形式出現。例如理想的振動弦（英语：vibrating string）問題可以建模為函數<math>f</math>在單位區間<math>[0,1]</math>的圖形，固定邊界值为<math>f(0)=f(1)=0</math>。弦振動的模態會是微分方程的<math>f^n(x)+\lambda^2f(x)=0</math>，此處λ是相關的特徵值。受施图姆－刘维尔理论限制，<math>\lambda</math>只能是一些特定的數值。而<math>\lambda=\pi</math>即為一個特征值，因為函數<math>f(x)=\sin (\pi x)</math>滿足邊界條件及微分方程<math>\lambda=\pi</math>[37]。

File:Sir William Thompson illustration of Carthage.png
依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一篇傳說，古迦太基城的外形是等周長問題的一項解(Thompson 1894)。這些包圍著海的區域由迦太基女王狄多所圍，城不靠海的邊界須用指定大小的牛皮圍住，後來是將牛皮剪成小段

<math>\pi</math>是上述方程的最小特征值，也和弦振動的基本模式（英语：fundamental mode）有關。一種讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函數不等式[38]，其中提到若函數<math>f:[0,1]\rightarrow \mathbb{C}</math>使得<math>f(0)=f(1)=0</math>，且<math>f</math>和<math>f'</math>都是平方可積函數，則以下的不等式成立：

<math>\pi^2\int_0^1|f(x)|^2\,dx\le \int_0^1|f'(x)|^2\,dx,</math>

此例中等號成立的條件恰好是<math>f</math>為<math>\sin (\pi x)</math>倍數的時候。因此<math>\pi</math>似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，也是最小的特征值（根據雷利商數的計算方式）

<math>\pi</math>在更高維度的分析也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，<math>\pi</math>的一項特點是等周定理中的最佳常數：周長為<math>P</math>的平面若尔当曲线，所圍面積<math>A</math>滿足以下的不等式

<math>4\pi A\le P^2</math>，

<math>A=\pi r^2</math>及<math>P=2\pi r</math>，故等號成立的條件是曲线為圓形[39]。

圓周率<math>\pi</math>也和庞加莱不等式的最佳常數有關[40]，<math>\pi</math>是一維及二維的狄氏能量（英语：Dirichlet energy）特征向量最佳值中最小，會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位势论[41][42][43]。其一維的情形即為維廷格不等式。

圓周率<math>\pi</math>也是傅里叶变换的重要常數，傅里叶变换屬於积分变换，將實數線上有複數值、可積分的函數，轉換為以下形式：

<math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\xi}\,dx.</math>

傅里叶变换有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定會有某處出現<math>\pi</math>。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了L2空間中唯一的幺正算符，也是<math>L^1</math>空間到<math>L^\infty</math>空間的代數同態[44]。

不确定性原理也用到<math>\pi</math>。不确定性原理提出了可以將函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，用傅立葉轉換的方式表示：

<math>\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx\ \int_{-\infty}^\infty \xi^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\ge \left(\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,dx\right)^2</math>。

物理的結果，有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中出現<math>\pi</math>是史東－凡紐曼定理（英语：Stone–von Neumann theorem）的結果，證實了海森伯群的薛定諤表示（英语：Schrödinger representation）是唯一[45]。

高斯积分[編輯]

File:E^(-x^2).svg
高斯函数<math display="inline">f(x)=e^{-x^2}</math>的图像，函数下方与X轴围成的阴影部分面积为<math display="inline">\sqrt{\pi}</math>。

高斯积分是对高斯函数<math>e^{-x^2}</math>在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为<math>\sqrt{\pi}</math>，

<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx=\sqrt{\pi}</math>

此积分的计算可以先计算<math>f(x)=e^{-x^2}</math>对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得

<math>\left( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \iint_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = \pi</math>

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为<math display="inline">f(x)=a\exp{\frac{-(x-b)^2}{2c^2}}</math>，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求<math display="inline">f(x)=e^{-x^2}</math>的积分。

另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为<math>\mu</math>和標準差为<math>\sigma</math>的正态分布的機率密度函數[46]：

<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,\exp{\frac{-(x-\mu )^2}{2\sigma^2}}</math>

这函数是概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令<math>\mu=0</math>和<math>\sigma=1</math>即可变换得出<math display="inline"> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx =\sqrt{\pi}</math>。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布[47]。

File:Random walk simulation.png
由一维布朗运动的反正弦定律，可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算<math>\pi</math>

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及<math>\pi</math>的核心作用，这定理本质上是联系着<math>\pi</math>的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有

<math> \sigma_{x}\sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}</math>，

这里的<math>\sigma_{x}</math>與<math>\sigma_{p}</math>分別為位置與動量的標準差，<math>\hbar</math>是約化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立[48]。

同样地，<math>\pi</math>作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为<math>f(x)=e^{-\pi x^2}</math>[49]。根据豪（Howe）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。

历史[編輯]

主条目：π的近似值
参见：π計算年表

远古时期[編輯]

圓周率在远古时期（西元前一千纪）已估算至前两位（3.1）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用<math display="inline">\frac{22}{7}</math>作為圓周率的約數[50][註 2]，但這說法受到質疑。[52][53][54][55]

最早有記載的对圓周率估值在古埃及和巴比伦出现，兩估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊西元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示人们当时把圓周率視同<math display="inline">\frac{25}{8}</math>（等於3.125）。[2]: 167 埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰寫年份為西元前1650年，但抄自一份西元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，该公式中圓周率等于<math display="inline">(\frac{16}{9})^2</math>（≈3.1605）。[2]: 167 

西元前4世紀的《百道梵書》的天文學運算把<math display="inline">\frac{339}{108}</math>（≈3.139，精确到99.91%）用作圓周率估值[56]。西元前150年前其他印度文獻把圓周率視為<math display="inline">\sqrt{10}</math>（≈3.1622）[2]: 169 。

割圆时代[編輯]

圖中有圓的外切五邊形、內接五邊形、外切六邊形及內接六邊形
<math>\pi</math>可以透過計算圓的外切多邊形及內接多邊形周長來估算

第一條有紀錄、嚴謹計算<math>\pi</math>數值的演算法是用正多邊形的幾何算法，在西元前250年由希臘數學家阿基米德發明。[2]: 170 這算法用了有一千年之久，因而有時<math>\pi</math>亦稱阿基米德常數。[2]: 175、205 阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算<math>\pi</math>的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長，一直計到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明<math display="inline">\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}{7}</math>（也就是<math display="inline">3.1408<\pi<3.1429</math>）[57]。阿基米德得到的上限<math display="inline">\frac{22}{7}</math>也造成常見誤解，認為<math>\pi</math>就等於<math display="inline">\frac{22}{7}</math>[2]: 171 。在西元前150年，希臘羅馬的科學家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一書中提到<math>\pi</math>的數值是3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波罗尼奥斯。[2]: 176 [58]數學家在1630年利用多邊形的方式計算<math>\pi</math>到第39位小數，一直到1699年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第71位小數[59]。

獨自研究圖形的阿基米德
阿基米德發展了用多邊形近似π的計算方式

中国历史上，<math>\pi</math>的數值有3[60]、3.1547（西元前一世紀）、<math>\sqrt{10}</math>（西元前100年，數值約3.1623）及<math display="inline">\frac{142}{45}</math>（第三世紀，數值約3.1556）[2]: 176–177 。大約在西元265年，曹魏數學家刘徽創立割圆术，用正3072邊形計算出π的數值為3.1416。[61][2]: 177 他後來又發明了較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為<math display="inline">\frac{1}{4}</math>的原理，配合96邊形算出<math>\pi</math>的值為3.14。[61]祖冲之在西元480年利用割圆术計算12288邊形邊長，得到<math>\pi</math>的值在3.1415926和3.1415927之间。他同时提出了π的约率<math display="inline">\frac{22}{7}</math>和密率<math display="inline">\frac{355}{113}</math>。在之後的八百年內，這都是π最準確的估計值。[2]: 178 為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。[62]

印度天文學家阿耶波多在西元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。[2]: 179 斐波那契在大約1220年用獨立於阿基米德多邊形法，計算出3.1418[2]: 180 。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是<math display="inline">3+\frac{\sqrt{2}}{10}\approx 3.14142</math>。[2]: 180 

波斯天文學家卡西在1424年利用3×228邊的多邊形，計算到六十進制的第9位小數，相當十進制的第16位小數。[63][64]這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。[65]法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217邊形計算到第9位小數[65]，佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數[65]。荷蘭數學家鲁道夫·范·科伊伦在1596年計算到第20位小數，他之後又計算到第35位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為鲁道夫數）。[2]: 182–183 荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數[2]: 183 ，而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格（英语：Christoph Grienberger）在1630年用1040邊形計算到第38位小數[66]，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果[2]: 183 。

无穷级数[編輯]

File:Comparison pi infinite series.svg
比較幾條曾用來計π的無窮級數的收斂情形。Sn是只取前n項的近似值。每張圖都是對應前一張圖的陰影部份，然後放大橫軸10倍。（點擊察看細節）

16及17世紀時，開始改用無窮级数的方式去計<math>\pi</math>。無窮级数是一組無窮數列的和[2]: 185–191 。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。[2]: 185–191 雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現。[2]: 185–186 [67]第一個记载用無窮级数計算<math>\pi</math>的人是约西元1500年左右时，印度天文學家尼拉卡莎·薩默亞士（英语：Nilakantha Somayaji）在他的著作《系統匯編（英语：Tantrasamgraha）》中用梵語詩所記錄。[68]當時沒有這數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理》，年代約在西元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）（1350–1425）。[68]相關的無窮级数有許多，包括有關<math>\sin</math>、<math>\tan</math>及<math>\cos</math>的，現在稱為馬德哈瓦數列（英语：Madhava series）或π的莱布尼茨公式[68]。瑪達瓦在1400年用無窮级数計算<math>\pi</math>到第11位小數，但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的結果[69]。

長髮艾萨克·牛顿的畫像
艾萨克·牛顿利用無窮级数計算π到第15位，後來寫道：「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字。」[70]

歐洲發現的第一條無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算<math>\pi</math>的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦·韦达在1593年發現[2]: 187 [71]：

<math> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>

約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积，是歐洲發現的第二條無窮項圓周率公式[2]: 187 ：

<math>

\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots </math> 微积分学由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明，許多計<math>\pi</math>的無窮級數出現。牛頓自己就用反正弦（<math>\arcsin</math>）數列在1655年或1666年將<math>\pi</math>近似到第15位小數，後來寫到「我很羞愧告訴你我為了計算它用了多少數字，我當時沒有做其他事。」[70]

蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年發現：[2]: 188–189 [72]

<math>

\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots </math>

這公式即為格雷果里－莱布尼茨公式，在<math>z=1</math>時數值為<math>\frac{\pi}{4}</math>。[72]1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里－莱布尼茨公式，在<math>z=\frac{1}{\sqrt{3}}</math>時計算，計算到π的第71位小數，打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。[2]: 189 格雷果里－莱布尼茨公式在<math>z=1</math>時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，現在不会再用此公式來計π。[2]: 156 

約翰·梅欽在1706年用格雷果里－莱布尼茨級數產生了可以快速收斂的公式：[2]: 192–193 

<math> \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}</math>

梅欽用這公式計到<math>\pi</math>第100位小數[2]: 72–74 後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算<math>\pi</math>位數的紀錄。[2]: 72–74 在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是耳熟能详可以計算<math>\pi</math>的公式，而且在约250年的时间里，很多有關<math>\pi</math>位數的紀錄都是梅欽類公式所得，比如在1946年時由達尼爾·弗格森（Daniel Ferguson）用這類公式計到第620位小數，是沒有計算設備輔助的最佳紀錄。[2]: 192–196, 205 

1844年，計算天才扎卡里亞斯·達斯（英语：Zacharias Dase）在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了<math>\pi</math>的200位小數，並創下紀錄。[2]: 194–196 英國數學家威廉·謝克斯（英语：William Shanks）花了15年的時間計算<math>\pi</math>到小數707位，不過第528位小數出錯，後面的小數也都不正確。[2]: 194–196 

收敛速度[編輯]

有些<math>\pi</math>的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算<math>\pi</math>，且達到需要的準確度[73][2]: 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202 。以下是<math>\pi</math>的莱布尼茨公式：[2]: 69–72 

<math> \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots</math>

隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近π。不過此數列的收斂速度很慢，要到50萬項之後，才會精確到<math>\pi</math>的第五位小數[74]。

尼拉卡莎在15世紀發展了<math>\pi</math>的另一條無窮級數，收斂速度比格雷果里－萊布尼茨公式快很多：[75]

<math> \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots</math>

以下比較兩條級數的收斂速率：

<math>\pi</math>的無窮級數 第1項 前2項 前3項 前4項 前5項 收斂到
<math>\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots.</math> 4.0000 2.6666… 3.4666… 2.8952… 3.3396… 3.1415…
<math>\pi =
获取编号参数{{{3}}}的正确方式是{{{3}}}，而不是{{3}}。详见Template:3。 + \frac
获取编号参数{{{4}}}的正确方式是{{{4}}}，而不是{{4}}。详见Template:4。{2\times3\times4} - \frac
获取编号参数{{{4}}}的正确方式是{{{4}}}，而不是{{4}}。详见Template:4。{4\times5\times6} + \frac
获取编号参数{{{4}}}的正确方式是{{{4}}}，而不是{{4}}。详见Template:4。{6\times7\times8} \cdots. </math> 		3.0000 3.1666… 3.1333… 3.1452… 3.1396…

計算前五項後，格雷果里－萊布尼茨級數的和跟<math>\pi</math>的誤差為0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂快很多，也甚為適合用來計<math>\pi</math>的值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德诺夫斯基算法，後者每計一項就可以得到14位正確的小數位[73]。

无理与超越性[編輯]

参见：林德曼-魏尔斯特拉斯定理

并非所有和<math>\pi</math>有关的研究都旨在提高计算它的准确度。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，建立了所有平方数倒数和与<math>\pi</math>的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了<math>\pi</math>、素数的重要關聯，對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。[76]

<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>

1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯用正切函数的无穷连分数表达式证明了<math>\pi</math>是無理數。[2]: 5 [77]1794年，法国数学家阿德里安－马里·勒让德证明了<math>\pi^2</math>也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数<math>\alpha</math>，<math>e^{\alpha}</math>都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼－魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，π只能是超越數，進而证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。[2]: 196 [78]哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。[79]

引入<math>\pi</math>符号[編輯]

File:Leonhard Euler 2.jpg
萊昂哈德·歐拉在他1736年到1748年的作品中開始用希臘字母<math>\pi</math>表示圓周率，數學界也開始廣為使用

在用<math>\pi</math>专指“圆周率”之前，希腊字母即已用於幾何概念中[2]: 166 。威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用<math>\pi</math>及<math>\delta</math>（對應p和d的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》（A New Introduction to the Mathematics）提到了<math>\pi</math>，是目前已知最早专门用希臘字母<math>\pi</math>表示圓周和其直徑比例的人[80]。這希臘字母第一次出现是在书中討論一塊半徑1的圓時提到「其圓周長一半（<math>\pi</math>）」。琼斯選用<math>\pi</math>可能因它是希臘文“周边”一词“περιφέρεια”的首字母[81]。不過琼斯提到，他那些有關<math>\pi</math>的算式出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，人们推測在瓊斯之前，約翰·梅欽就已开始用<math>\pi</math>表示圓周率[2]: 166 。

瓊斯在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學（英语：Mechanica）》中開始使用之后，其他数学家才纷纷开始用<math>\pi</math>指代圆周率。在此之前，數字家可能用像c或p之類的字母代表圓周率[2]: 166 。歐拉與歐洲其他數學家间时常互相写信来往，<math>\pi</math>的用法迅速傳播开来[2]: 166 。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了<math>\pi</math>，写道：「簡潔起見，我們將此數字寫為<math>\pi</math>，<math>\pi</math>等於半徑為1的圓周長的一半。」这表示方式之後也推展到整片西方世界[2]: 166 。

现代数值近似[編輯]

计算机时代与迭代算法[編輯]

一位穿著西裝男士的照片
约翰·冯·诺伊曼所屬的團隊是用數位計算機ENIAC來計π的第一隊
高斯－勒让德算法：
一開始設定
<math>\scriptstyle a_0 = 1 \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad p_0 = 1</math>

迭代計算:<math>\scriptstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math>

<math>\scriptstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>

則π的估計值為

<math>\scriptstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}</math>

二十世紀中期计算机技术发展、革新再次引发了計算π位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年用桌上型計算機計算到1120位[2]: 205 。同年，喬治·韋斯納（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数（arctan）的無窮級數，用ENIAC計算到了小數後2037位，花了70小時的電腦工作時間[82]。這紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破（1957年到7480位小數，1958年到第一萬位數，1961年到第十萬位小數），直到1973年，小数点后第一百萬位小數經已算出[2]: 197 。

1980年代有两项發明加速計算了π。第一项是發现了新的迭代法去计π的值，計算速度比無窮級數快很多；另一项是發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法[2]: 15–17 。電腦大部分的工作時間都是在計乘法，這類演算法對現代計π格外重要[2]: 131 。這類演算法包括嘉良對馬（Karatsuba）算法、譚曲（Toom－Cook）乘法及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法（傅里叶乘法）[2]: 132, 140 。

迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家尤金·薩拉明（英语：Eugene Salamin (mathematician)）及奧地利科學家理查·布蘭特（英语：Richard Brent (scientist)）独立提出[2]: 87 。這两條演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆特定計算，将前一次的計算結果作为這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出，現在稱為算术－几何平均数算法（AGM法）或高斯－勒让德算法[2]: 87 。薩拉明及布蘭特都曾修改之，这算法也稱為薩拉明－布蘭特演算法。

迭代演算法收斂速度比無窮級數快很多，在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每計算多一次，正確位數會呈几何级数增长。例如薩拉明－布蘭特演算法每計算多一次，正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温（英语：Jonathan Borwein）及彼得·波温（英语：Peter Borwein）提出迭代演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的四倍，1987年時有另一條迭代演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的五倍[83]。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年間創下了若干項紀錄[84]。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價，需要的記憶體明顯比無窮級數多[84]。

计算<math>\pi</math>的意义[編輯]

File:Record pi approximations.svg
當數學家發現新的算法、電腦變得普及时，<math>\pi</math>的已知小數位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标。

一般而言，<math>\pi</math>值并不需要过于精确便能够满足大部分数学运算的需求。按照約·安（Jörg Arndt）及古里斯佗夫·希奴（Christoph Haenel）的计算，39位精確度已可将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一粒原子大小，足以運算絕大多數宇宙学的计算需求[85]。尽管如此，和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條；部分人出于對破紀錄的冲动，依然奋力算出π小数点后上千甚至上百萬位[2]: 17–19 [86][87]。此外也有測試超级计算机、測試数值分析算法（包括高精度乘法算法（英语：Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs））等實際好處。純粹數學這领域也能计算π的位数评定其隨機度[2]: 18 。

快速收敛级数[編輯]

一位男士的肖像
斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像，他在印度独立工作时提出了许多计算π的新颖数列。

现代计算<math>\pi</math>的程序不仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，出现了可用来计算<math>\pi</math>的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。[84]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与π相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。[2]: 103–104 下式即为一例，其中用到了模方程：

<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4(396^{4k})}.</math>

这无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。[2]: 104 第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀（英语：Bill Gosper），他在1985年算得了小数点后一千七百万位。[2]: 104, 206 拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟（英语：Chudnovsky brothers）进一步发展了这类算法。[2]: 110–111 后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：

<math>\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640320^{3/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}.</math>

此公式每计算一项就能得到π的约14位数值[88]，因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（109）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×1012）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（1013）位。[2]: 110–111, 206 [89][90]类似的公式还有拉马努金-佐藤级数（英语：Ramanujan–Sato series）。

2006年，加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ整数关系算法（英语：integer relation algorithm）[91]按照以下模版生成了几條计算π的新公式：

<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)</math>，

<math>q</math>為e<math>\pi</math>，<math>k</math>是奇數，<math>a,b,c</math>是普勞夫計算出的有理常數。[92]

統計模擬法[編輯]

長度為ℓ的針散落在畫滿間距為t的平行線的平面上
布豐投針問題，多枚長度為ℓ的針隨機地拋擲向平面。
大量的點隨機的散落在一個內切四分之一圓的正方形內
隨機地往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量的點。
蒙地卡羅方法基於隨機試驗結果計算<math>\pi</math>的近似值

統計模擬法是以概率統計理論為指導的一類非常重要的計數方法，經大量重複試驗計算事件發生頻率，按照大數法則（即當試驗次數充分大時，頻率充分接近概率）可以求得<math>\pi</math>的近似值[93]。 布芬（Buffon）投針問題就是其中一項實例：長度<math>l</math>的針隨機往畫滿間距<math>t\left ( l\leq t \right )</math>的平行線的平面上拋擲<math>n</math>次， 如果針與平行直線相交<math>m</math>次，<math>n</math>充分大就可根據以下公式算出<math>\pi</math>的近似值[94]：

<math>\pi \approx \frac{2n\ell}{mt}</math>

用統計模擬法計<math>\pi</math>的另一例子是隨機往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量點，落在四分之一圓內的點的數量與拋擲點的總量的比值會近似於<math display="inline">\frac{\pi}{4}</math>。[2]: 39–40 [95]

此外還可用隨機遊走試驗，並用統計模擬法計算<math>\pi</math>值，如拋擲一枚均勻的硬幣<math>N</math>次，並記錄正面朝上的次數，所得結果中，正面朝上的次數<math>n_N</math>服從二項分佈且

<math>\Pr(n_N = m) = \binom N m (\frac{1}{2})^m (\frac{1}{2})^{N-m}</math>

因為硬幣均勻，所以N次試驗中每次試驗結果相互獨立。由此可定義一系列獨立的隨機變量<math>X_k\left ( k=1,2,\ldots \right )</math>，當拋擲結果為正面時<math>X_k=1</math>否則為-1，且<math>X_k=\pm 1</math>且取何值有相同概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。對隨機變量<math>X_k\left ( k=1,2,\ldots, N \right )</math>求和可得

<math>W_N = \sum_{k=1}^N X_k</math>

設k為「硬幣正面朝上的次數」減去「硬幣反面朝上的次數」，即可得到<math>m-\left ( N-m \right )=k</math>。轉換式子，得<math>m=\frac{N+k}{2}</math>，因此

<math>\Pr(W_N = k) = \binom N \frac{N+k}{2} \frac{1}{2^N}</math>，其中<math>k=-N,-N+2,-N+4,\ldots,N-2,N</math>。

可證明[96]，

<math>E(W_N) = 0</math>，<math>E(W_N^2) = N</math>，以及<math display="inline">E(|W_N|) = \binom{N}{\left\lceil{N/2}\right\rceil \frac{\left\lceil{N/2}\right\rceil}{2^{N-1}}} = \begin{cases}

\frac{(N-1)!!}{(N-2)!!},& \text{若 }N\text{偶，} \\ \frac{N!!}{(N-1)!!},& \mbox{若 }N\mbox{奇。} \end{cases} </math>

並且當N變大時，<math display="inline">E\left ( \left \vert W_N \right \vert \right )</math>的值會漸近於<math display="inline">\sqrt{\frac{2N}{\pi}}</math>，因此當N充分大時可根據以下公式算出<math>\pi</math>的近似值：[97]

<math>\pi \approx \frac{2N}{|W_N|^2} </math>

和其他計算<math>\pi</math>值的方法相比，蒙地卡羅方法收斂速度很慢，而且無論實驗多少次，都無從得知<math>\pi</math>的估值已經精確到第幾位。因此，當追求速度或精度時，蒙地卡羅方法不適合用來估計<math>\pi</math>。[2]: 43 [98]

閥門算法[編輯]

1995年引入的兩條算法開闢了研究<math>\pi</math>的新途徑。因為每計算出一位數字，該數就會像流過閥門的水一樣不會再出現在後續的計算過程中，這種新進算法叫閥門算法（英語：spigot algorithm）。[2]: 77–84 [99]這就與無窮級數及迭代算法形成對比——無窮級數和迭代算法自始至終的每一步計算都會涉及到之前所有步驟計算出的中間值。[2]: 77–84 

1995年，美國數學家斯坦·瓦格納（英語：Stan Wagon）和斯坦利·拉比諾維茨（Stanley Rabinowitz）發明了一種簡單的閥門算法[99][2]: 77 [100]，其運算速度類似arctan演算法，但速度比迭代算法慢[2]: 77 。

貝利－波爾溫－普勞夫公式（BBP）是另一條閥門算法，屬於一種位數萃取演算法（英語：digit extraction algorithm）。1995年，西蒙·普勞夫等人發現[2]: 117, 126–128 [101]

<math> \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

這公式和其他公式不同，可以計算<math>\pi</math>的任何十六進小數位，而不用計算前面全部小數位[2]: 117, 126–128 。十六進數位可計算得到特定二進數位；想要得到八進制數位的話，計算一、兩位十六進小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體，不過還沒有發現針對十進制、可以快速生成特定小數位的位數萃取演算法[102]。位數萃取演算法的一項重要用途是用來確認聲稱是計算到<math>\pi</math>小數位數的新紀錄：若有聲稱是新紀錄的計算結果出現，先將十進制的數值轉換到十六進制，再用貝利－波爾溫－普勞夫公式去確認最後一些位數（用亂數決定），若這些位數都對，就能有一定把握認為此計算結果是對的[90]。

1998年到2000年間，分佈式計算計劃PiHex（英語：PiHex）用貝拉公式（貝利－波爾溫－普勞夫公式的一種變體）計算<math>\pi</math>第1015位，結果是0[2]: 20 [103]。2010年9月，有雅虎員工用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦計算π在2×1015位開始往後256位，其第2×1015位剛好也是0[104]。


利用伽瑪函數計算[編輯]

伽瑪函數，<math> \Gamma(n) =(n-1)! </math>，可以被用作計算圓周率。

<math> \pi= \Gamma(\frac{1}{2})^2 </math>

證明如下：

利用歐拉反射公式

<math> \Gamma(z) * \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin( \pi z)} </math>

令 <math> z = \frac{1}{2} </math>

<math> \Gamma(\frac{1}{2})*\Gamma(1-\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{\sin (\frac{\pi}{2})} </math>

因為 <math>\sin(\frac{\pi}{2})</math>

<math>\Gamma(\frac{1}{2})^2 = \pi </math>

用途[編輯]

<math>\pi</math>與圓密切相關，出現在許多幾何學和三角學的公式中（特別是與圓、橢圓和球體相關的那些）。 此外，<math>\pi</math>也出現在其他學科的重要公式中，比如統計學、物理學，傅立葉分析和數論的公式。

幾何學與三角學[編輯]

圓右上四分之一處覆蓋在正方形下的圖。
圓的面積等於<math>\pi</math>乘以陰影部分面積。

<math>\pi</math>出現在基於圓的幾何圖形（如橢圓、球、圓錐與環面）的面積、體積公式中。下面是一些用到π的常見公式：[9]

  • 半徑<math>r</math>的圓周界<math>2\pi r</math>。
  • 半徑<math>r</math>的圓面積<math>\pi r^2</math>。
  • 半徑<math>r</math>的球體積<math display="inline">\frac{4}{3}\pi r^3</math>。
  • 半徑<math>r</math>的球面面積<math>4\pi r^2</math>。

上述公式是n維球的體積與其邊界（（n−1）維球的球面）的表面積的特殊情況，具體將在後文給出解釋。

描述由圓生成的圖形的周界、面積或體積的定積分常涉及<math>\pi</math>。例如，表示半徑為1的半圓的面積的積分為[105]

<math>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}.</math>
<math display="inline">\sqrt{1-x^2}</math>的積分表示上半圓（此處的平方根由畢氏定理得出），從積分上下限-1到1的積分<math display="inline">\int ^x_{-1}</math>可用來計算半圓與x 軸間的面積。
函數圖象
正弦和餘弦函數的重複週期為<math>2\pi</math>。

三角函數要用到角，而數學家常用弧度作角度單位。π在弧度制起重要作用，數學家將周角，即360度定義為<math>2\pi</math>度。[106]由這條定義可得，180度＝<math>\pi</math>弧度，1度＝<math display="inline">\frac{\pi}{180^\circ}</math>弧度。[106]因此，常用的三角函數的週期為<math>\pi</math>的倍數；例如，正弦和餘弦週期為π，[107]任何角度<math>\theta</math>和任何整數<math>k</math>都有

<math display="inline"> \sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right) </math>及<math display="inline"> \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)</math>。[107]

拓撲學[編輯]

File:Uniform tiling 73-t2.png
克萊因四次曲面（英語：Klein quartic）的單值化，虧格為3且歐拉特徵值為−4的面，作為雙曲面與菲諾平面（英語：Fano plane）的對稱群PSL(2,7)的商。根據高斯－博內定理，基本域的雙曲面積為8π.

常數<math>\pi</math>出現在將平面微分幾何（英語：differential geometry of surfaces）及其拓撲學聯繫起來的高斯－博內定理中。具體來說，如果緊曲面Σ的高斯曲率為<math>K</math>，那麼有

<math>\int_\Sigma K\,dA = 2\pi \chi(\Sigma)</math>，

其中<math>\chi(\Sigma)</math>是該曲面的歐拉示性數，是整數。[108]例如，曲率為1（也就是說其曲率半徑也為1，對於球面而言此時的曲率半徑與半徑重合）的球面<math>S</math>的表面積。球面的歐拉特徵數可以通過其同源組計算，其結果為2。於是，便得出

<math>A(S) = \int_S 1\,dA = 2\pi\cdot 2 = 4\pi</math>

即為半徑為1的球面的表面積公式。

常數<math>\pi</math>還出現在拓撲學的許多其他的積分公式中，特別是那些涉及通過陳－韋伊同態的特徵類[109]。

向量分析[編輯]

File:YL10M5sph.png
向量分析的方法可以通過分解成球諧函數來理解（圖示）

向量分析是與向量場的性質有關的微積分的分支，並有許多物理用途，例如用在電磁學中。位於三維笛卡爾坐標系原點的點源<math>Q</math>的牛頓位勢（英語：Newtonian potential）為[110]

<math>V(\mathbf{x}) = -\frac{k Q}{|\mathbf{x}|}</math>

表示位於距原點<math>\left \vert \boldsymbol{x} \right \vert</math>的單位質量（或電荷）的勢能，而<math>k</math>是維度常數。在這裏由<math>\mathrm{E}</math>表示的場可以是（牛頓）引力場或（庫侖）電場，是位勢的負梯度：

<math>\mathbf{E} = -\nabla V.</math>

特殊情況有庫侖定律和牛頓萬有引力定律。高斯定律表明，通過包含原點的任何平滑、簡單、封閉、可定向曲面<math>S</math>的場的向外通量等於<math>4\pi kQ</math>：

<math>4\pi k Q = </math><math>\oiint</math>\oiint<math>{\scriptstyle S}</math><math>\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}</math>

標準形式會將<math>4\pi</math>的這因子吸收到常數<math>k</math>中，但這種說法表明了它必須出現在「某處」。此外，<math>4\pi</math>是單位球面的表面積，但並沒有假設<math>S</math>是球面。然而，作為散度定理的結果，由於遠離原點的區域是真空（無源的），只有<math>\mathrm{R}^3\setminus\left \{ 0 \right \}</math>中的表面<math>S</math>的同調類與計算積分有關，因此可以由相同同調類中的任何方便的表面代替，特別是球形，因為球面坐標可以用於計算積分。

高斯定律的結果之一是位勢<math>V</math>的負拉普拉斯算子等於狄拉克δ函數的<math>4\pi kQ</math>倍：

<math>\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k Q\delta(\mathbf x).</math>

通過卷積就能得到物質（或電荷）的更一般分佈，給出泊松方程

<math>\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k \rho(\mathbf x)</math>

其中<math>\rho</math>是分佈函數。

File:Spacetime lattice analogy.svg
愛因斯坦方程表明，時空的曲率是由其中的物質能量生成

常數<math>\pi</math>在與愛因斯坦場方程中的四維勢起類似的作用，愛因斯坦方程是形成廣義相對論基礎的一條基本公式，並且把引力的基本相互作用描述為物質和能量引起的時空彎曲的結果：[111]

<math> R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu},</math>

<math>R_{\mu v}</math>是里奇曲率張量，<math>R</math>是純量曲率，<math>g_{\mu v}</math>是度量張量，<math>\Lambda</math>是宇宙學常數，<math>G</math>是萬有引力常數，<math>c</math>是真空中的光速，而<math>T_{\mu v}</math>是應力－能量張量。愛因斯坦方程的左邊是度量張量的拉普拉斯算子的非線性模擬，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右邊是分佈函數的模擬乘以<math>8\pi</math>。

柯西積分公式[編輯]

File:Factorial05.jpg
複雜的解析函數可以以一系列的流綫和等電位綫（許多以直角相交的曲綫）視覺化，圖中是伽瑪函數的複數對數。

在複分析中，沿複數平面若爾當曲線的圍道積分是研究解析函數的重要手段之一。簡化版的柯西積分公式表明，對任何若爾當曲線<math>\gamma</math>內任一點<math>z_0</math>，以下圍道積分給出<math>2\pi i</math>：[112]

<math>\oint_\gamma \frac{dz}{z-z_0} = 2\pi i.</math>

該命題是柯西積分定理的直接推論，後者表明上述圍道積分在圍道的同倫轉換下保持不變，因而沿任一曲線的積分和沿以<math>z_0</math>為圓心的圓周積分的結果相同。更為一般地，該公式對不通過<math>z_0</math>點的任意可求長曲線都成立，但等式右邊要乘以曲線關於該點的卷繞數。

一般式的柯西積分公式建立了全純函數<math>f(z)</math>在若爾當曲線<math>\gamma</math>上的值與曲線內任意點<math>z_0</math>處值的關係：[113][114]

<math>\oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz = 2\pi i f (z_{0})</math>

柯西積分定理是留數定理的一項特例。根據留數定理，在區域內除去有限個點解析的亞純函數<math>g(z)</math>在邊界上的圍道積分與函數在這些點的留數之和滿足：

<math>\oint_\gamma g(z)\, dz =2\pi i \sum \operatorname{Res}( g, a_k ) </math>

Γ函數與斯特靈公式[編輯]

File:Hopf Fibration.png
以維拉瑞索圓（英語：Villarceaux circles）將三塊球面霍普夫纖維化，下方是富比尼－施圖迪度量的黎曼球面與其富比尼－施圖迪度量（如圖所示的三塊平行曲面）。恆等式<math>\frac{S_3(1)}{S_2(1)}=\frac{\pi}{2}</math>可以確定一條數列

階乘函數<math>n!</math>的值等於所有小於等於<math>n</math>的正整數之積，它的定義域只包含非負整數。Γ函數則是階乘的推廣。它在複數平面的右半平面定義為：

<math> \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t} \,{\rm{d}}t</math>

再利用解析延拓可以將它的定義域擴展到除去非正整數的整塊複數域。當自變量<math>z=n</math>取正整數時，<math>\Gamma</math>函數給出階乘<math>\left ( n-1 \right )!</math>；當自變量取半整數時，計算結果含有<math>\pi</math>。例如<math display="inline"> \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} </math>，<math display="inline">\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>。[115]

根據魏爾施特拉斯分解定理，<math>\Gamma</math>函數可分解為如下的無窮乘積：[116]

<math>\Gamma(z) = e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac{z}{n}}}{1+\frac{z}{n}}</math>

<math>\gamma</math>是歐拉－馬斯刻若尼常數。利用該分解公式和<math>\Gamma</math>函數在<math display="inline">z=\frac{1}{2}</math>的值<math display="inline">\Gamma\left ( \frac{1}{2} \right )^2=\pi</math>，亦可以證明沃利斯乘積式。<math>\Gamma</math>函數和黎曼ζ函數、函數行列式（英語：functional determinant）的恆等式存在關聯，其中<math>\pi</math>扮演着重要的角色。

<math>\Gamma</math>函數常用於計算<math>n</math>維歐氏空間中n 維球的體積和n 維球面的表面積。對<math>n</math>維歐氏空間中半徑為<math>r</math><math>n</math>維球，其體積<math>V_n(r)</math>和表面積<math>S_{n-1}(r)</math>滿足：[117]

<math>V_n(r) = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math>
<math>S_{n-1}(r) = \frac{n\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^{n-1}</math>

兩者還滿足如下的關係式：

<math>2\pi r = \frac{S_{n+1}(r)}{V_n(r)}.</math>

當<math>n</math>很大，用<math>\Gamma</math>函數可得到階乘<math>n!</math>的近似公式<math> n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>，稱斯特靈公式[118]，等價於：

<math>\pi = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{2n}n!^2}{2 n^{2n+1}}.</math>

斯特靈近似的幾何應用之一是埃爾哈特體積猜想（英語：Ehrhart's volume conjecture）。將<math>n</math>維歐幾里得空間的單體記作<math>\Delta_n</math>，<math>\left ( n+1 \right )\Delta_n</math>則表示該單體的所有面擴大<math>n+1</math>。於是

<math>\operatorname{Vol}((n+1)\Delta_n) = \frac{(n+1)^n}{n!} \sim \frac{e^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}.</math>

這是僅含一點晶格點之凸體體積的（最佳）上界[119]。

數論與黎曼ζ函數[編輯]

File:Prüfer.png
全部質數都有其關聯的普魯法群（英語：Prüfer group），即圓的算數定域。分析數論的L函數也定域在每個質數p上
File:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png
基於韋伊猜想（英語：Weil conjecture on Tamagawa numbers）的巴塞爾問題的解：<math>\zeta(2)</math> 的數值是模群（英語：modular group）中一個基本域的雙曲面積的2<math display="inline">\pi</math>倍。

黎曼ζ函數<math>\zeta(s)</math> 在數學的許多領域均有應用。當自變量<math>s=2</math> ，可寫作

<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>

找到這無窮級數的解析解是數學界著名的「巴塞爾問題」。1735年，歐拉解決了這問題，他得到該無窮級數等於<math>\frac{\pi^2}{6}</math>[76]。歐拉的結論可推導出數論中一項結果，即兩隨機整數互質（無公因數）的概率為<math>\frac{6}{\pi^2}</math> [2]: 41–43 [120]。整數可由質數<math>p</math>整除的概率為<math>\frac{1}{p^2}</math>（例如，連續7個正整數只有一個可以7整除），任取兩隨機整數都能以質數<math>p</math>整除的概率為<math>\frac{1}{p^2}</math>，至少有一數不能整除的概率則為<math>1-\frac{1}{p^2}</math>。又，一隨機整數能否以兩不同質數整除是相互獨立事件，兩隨機整數互質的概率可以表示成關於所有質數<math>p</math>的無窮乘積[121]

<math>\begin{align}

\prod_p^\infty \left(1-\frac{1}{p^2}\right) &= \left( \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1}\\ &= \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots }\\ &= \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%. \end{align}</math> 這結論可結合隨機數生成器，用統計模擬法計<math>\pi</math>的近似值。[2]: 43 

巴塞爾問題的結論意味着幾何導出量<math>\pi</math>的數值與質數的分佈有着深刻的關聯。巴塞爾問題是谷山－志村定理的一種特殊情況，是安德烈·韋伊對玉河數的猜想（英語：Weil's conjecture on Tamagawa numbers）的一項特例，即猜想一個這種形式的算術量關於所有質數<math>p</math>的無窮乘積能夠等於一個幾何量——某局部對稱空間（英語：locally symmetric space）體積的倒易。巴塞爾問題中，這空間是雙曲3-流形（英語：hyperbolic 3-manifold）SL2(R)/SL2(Z)（英語：modular group）。[122]

<math>\zeta</math>函數同樣滿足黎曼方程的公式，其中用到了<math>\pi</math>和伽瑪公式：

<math>

\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)\!.</math>

除此之外， <math>\zeta</math>函數導數也滿足

<math>\exp(-\zeta'(0)) = \sqrt{2\pi}.</math>

最終的結果是<math>\pi</math>可以從諧振子泛函行列式（英語：functional determinant）中求得。這泛函行列式可以無窮乘積展開式計算，而且這種方法等價於沃利斯乘積公式。[123]這種方法可用於量子力學，尤其是玻爾模型中的變分。[124]

傅立葉級數[編輯]

File:2-adic integers with dual colorings.svg
<math>\pi</math>出現在P進數中的表示（如圖），它們是普魯法群（英語：Prüfer group）的元素。泰特的論文（英語：Tate's thesis）很大程度地利用了這系統。[125]

週期函數的傅立葉級數很自然出現了<math>\pi</math>。週期函數即實數的小數部分所構成群<math display="inline">T=\frac{R}{Z}</math>上的函數。傅立葉分解指出，<math>T</math>上的複值函數<math>f</math>可表示為無窮多個<math>T</math>的酉特徵（英語：unitary character）的線性疊加之和。也就是說，<math>T</math>到圓群<math>U(1)</math>（模為1的複數組成的乘法群）的映射是連續群同態。<math>T</math>的特徵都有<math>e_n(x)= e^{2\pi i n x}</math>的形式，是一條定理。

<math>T</math>有唯一的特徵值，直到複共軛，那是一群同態。在圓群用哈爾測度，常數<math>\pi</math>是這特徵值的拉東－尼科迪姆導數值的一半。其他的特徵值的導數值為<math>2\pi</math>的正整數倍。[23]因此，常數<math>\pi</math>是獨特的數字，以至於配備了其哈爾測度的群<math>T</math>，有對於<math>2\pi</math>整數倍的點陣的龐特里亞金對偶性[126]。這是泊松和公式（英語：Poisson summation formula）的一維版本。

模形式與𝜃函數[編輯]

常數<math>\pi</math>與模形式和Θ函數密切相關——比如，橢圓曲線中的j變量（英語：j-invariant）就很大程度涉及楚德諾夫斯基算法（一種快速計算π的方法）。

模形式是以在上半平面的全純函數的在模群（英語：modular group）<math>SL_2(\mathbb Z)</math>（或其子群，<math>SL_2(\mathbb Z)</math>是<math>SL_2(\mathbb R)</math>的一格）下的變換特性歸納。Θ函數便是一例：

<math>\theta(z,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i nz + i\pi n^2\tau}</math>

它是一種名為雅可比形式（英語：Jacobi form）的模形式，[127]有時以諾姆（英語：nome (mathematics)）<math>q=e^{\pi i \tau}</math>表達。

常數<math>\pi</math>是特殊常數，它會使雅可比<math>\Theta</math>函數形成自守式，即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守式下成立。，例如：

<math>\theta(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i\tau -2\pi i z}\theta(z,\tau)</math>

它使得<math>\theta</math>必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他<math>\Theta</math>函數也包含<math>\pi</math>，這也是根據史東–馮紐曼定理（英語：Stone–von Neumann theorem）。[127]

柯西分佈與位勢論[編輯]

File:Witch of Agnesi, construction.svg
箕舌線，英文名來自瑪利亞·阿涅西（1718–1799），柯西分佈的一幅幾何構築圖

積分<math display="inline">\int_{-\infty }^{\infty } \frac{1}{x^2+1} \, dx = \pi</math>，柯西分佈<math display="inline">g(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{x^2+1}</math>是概率密度函數，總概率等於1。

柯西分佈的香農熵等於<math>\log(4\pi)</math>，也含<math>\pi</math>。

File:Brownianmotion beads in water spim video.gif
柯西分佈控制做布朗運動的粒子通過膜的通道

柯西分佈在位勢論中扮演着重要的角色因為它是最簡單的福斯坦堡測度（英語：Furstenberg boundary）和與在半平面上做布朗運動相關聯的經典泊松核[128]。共軛諧波函數（英語：Conjugate harmonic function）以及希爾伯特轉換與泊松核的漸近線有關。希爾伯特轉換<math>H</math>是由奇異積分的柯西主值給出的積分轉換

<math>Hf(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x-t}</math>。

常數<math>\pi</math>是唯一的（正）歸一化因子因此<math>H</math>定義了一個在實數軸上的平方可積分實值函數的希爾伯特空間上的線性複結構（英語：linear complex structure）[129]。 和傅立葉轉換一樣，希爾伯特轉換就其在希爾伯特空間<math>L^2(R)</math>的轉換特性而言可以完全特徵化。直到歸一化，它是唯一的與正膨脹對易且與實數軸的所有反射反對易有界線性算子[130]。常數<math>\pi</math>是唯一能使這轉換么正的歸一化因子。

複變動態系統[編輯]

一個複數平面下，曼德博集合的黑色圖案，背景為藍色的
可以從曼德博集合中計算π，計算方式和計算從(−0.75, ε)點開始，一直到發散之前的次數有關

大衛·波（David Boll）在1991年發現在曼德博集合分形也有π出現[131]。他檢查在曼德博集合在<math>(-0.75,0)</math>位置的特性。若考慮坐標在「頸部」<math>(-0.75,\varepsilon)</math>的點，而<math>\varepsilon</math>趨近零，在發散之前迭代的次數和<math>\varepsilon</math>相乘，會趨近<math>\pi</math>。若是在右側尖點處附近的點<math>(0.25,\varepsilon)</math>也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和<math>\varepsilon</math>的平方根相乘，也會趨近<math>\pi</math>[131][132]。

數學之外的π[編輯]

描述物理現象[編輯]

<math>\pi</math>與圓以及球坐標系關係密切，即使<math>\pi</math>不是物理常數，也常出現在描述宇宙的基本原則方程中。比方說，經典力學領域的簡單公式給出長L的單擺小幅擺動的近似週期<math display="inline">T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math>，<math>g</math>為地球引力加速度常數。[133]

海森堡不確定性原理是量子力學的基本公式，表明測量粒子時，其位置不確定度（<math>\Delta x</math>）與動量不確定度（<math>\Delta p</math>）不可能同時達到任意小（<math>h</math>為普朗克常數）：[134]<math display="inline"> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}</math>。

<math>\pi</math>近似三這特性，和電子偶素的半衰期相對較長有密切的聯繫。其半衰期的倒數和精細結構常數<math>\alpha</math>的關係為[135]<math display="inline">\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6}</math>，<math>m</math>為電子質量。

許多結構工程的公式也有<math>\pi</math>，例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為<math>L</math>、截面二次軸矩為I的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載<math>F</math>[136]：

<math>F =\frac{\pi^2EI}{L^2}.</math>

流體動力學的斯托克斯定律中也有<math>\pi</math>。斯托克斯定律是半徑約為<math>R</math>的小球體在黏度<math>\eta</math>的流體中以速度<math>v</math>運動時會受到的阻力滿足[137]：

<math>F =6 \, \pi \, \eta \, R \, v .</math>

在理想狀態下，河的曲折程度（河道本身的長度與源頭到入海口的比值）隨着時間的推移逐漸趨向於<math>\pi</math>。河流外邊緣的快速水流彎曲會使河流內邊緣加倍侵蝕，河道變得更彎曲，整條河彎折更厲害。然而，這股彎折勁兒最終會導致河流折回一開始彎折的地方，導致「短路」，並形成河跡湖。這兩種相反因素使河道長度與源頭到入海口的比值的平均值為π。[138][139]

π的記憶技巧[編輯]

主條目：π文字學

π文字學（或譯作圓周率的語言學）是指記住<math>\pi</math>的大量位值[2]: 44–45 ，並將其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全的做法。維爾·美拿（Rajveer Meena）於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的π，創下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。[140]2006年，日本退休工程師原口證在千葉縣於官員見證下背誦了十萬位小數，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。[141]

常用於記憶π的一項技巧是背誦以單詞長度代表<math>\pi</math>數值的故事或詩歌：第一單詞有三字母，第二單詞有一字母，第三單詞有四字母，第四單詞有一字母，第五單詞有五字母，如此類推。早期例子是英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」[2]: 44–45 這類詩歌有時在英文中稱為「piem」。除了英文，用於記憶π的詩歌亦有不同語言的版本[2]: 44–45 。但是，記憶<math>\pi</math>的人一般並不以詩歌記憶<math>\pi</math>來創下紀錄，而是用如記憶數字規律或軌跡法（英語：method of loci）的方法。[142]

有好幾位作家仿照上述記憶技巧，用<math>\pi</math>的數值創作了新型的約束寫作（英語：constrained writing）方式，當中單詞長度須符合<math>\pi</math>的數值。《The Cadaeic Cadenza（英語：Cadaeic Cadenza）》以上述技巧包含了<math>\pi</math>前3835位的值[143]，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬單詞，其中各單詞亦代表了<math>\pi</math>的一位。[144]

大眾文化[編輯]

Pi Pie at Delft University
π批；圓形西式餡餅是常見的π雙關語（英語圓周率和批同音）

也許因為<math>\pi</math>的公式很簡短而且四處可見， <math>\pi</math>比其他數學常數在流行文化中更常見[註 3]。

在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合製作的記錄片《數學的故事（英語：The Story of Maths）》於2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片講述了英國數學家馬庫斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上π最精確的計算公式的資訊圖形。[147]

巴黎的科學博物館發現宮有間圓形房間叫「<math>\pi</math>房」，牆上刻有<math>\pi</math>的707位數，數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家威廉·尚克思（英語：William Shanks）計算出來，但是該結果於第528位後開始出現謬誤，在1946年發現，1949年修正。[148][2]: 50 

卡爾·薩根的小說《接觸未來》中則暗示說，宇宙的創造者在π的數字中暗藏了一則資訊。[149]π的數字也用在凱特·布希所出的專輯Aerial（英語：Aerial (album)）中的《Pi》的歌詞裏。[150]

美國人在3月14日慶祝圓周率日，此節日在學生中很流行。[151]一些自稱「數學極客」的人常常用<math>\pi</math>與其數位來創作一些數學或技術圈內人士才能領會到的笑話。麻省理工學院則有幾句包含「3.14159」的大學歡呼口號（英語：cheering）。[152]2015年的圓周率日格外重要，按照美式寫法，當天的日期時間3/14/15 9:26:53較其他圓周率日包含更多位數的<math>\pi</math>。[153]

在北電網絡於2011年舉行的技術專利拍賣會上，谷歌用了一些包含<math>\pi</math>在內的數學或科學常數來競價。[154]

在1958年，阿爾伯特·伊格爾（英語：Albert Eagle）提議將<math>\pi</math>換成τ（tau）以便簡化公式。<math>\tau</math>在此定義為<math>\pi</math>的兩倍[155]。然而，沒有任何其他作者曾這樣使用過<math>\tau</math>。有些人使用不同的值，<math>\tau=2\pi=6.283185\ldots</math>。[156]這些人稱<math>\tau</math>不論是作為弧度制下圓周界的1轉還是作為弧長與半徑的比值（而不是與直徑的比值）都比<math>\pi</math>自然，也能因此簡化許多公式。[157][158]有媒體報道稱，因為<math>\tau</math>的值大小約為6.28，現已有人在6月28日慶祝「<math>\tau</math>節」，並吃「兩個派」；[159]然而，主流數學界還並未使用<math>\tau</math>。[160]

1897年，有業餘美國數學家試圖藉印第安納州議會來通過後世所謂印第安納圓周率法案的法案。這法案試圖以法律命令強制規定數學常數之值而臭名遠播。該法案描述化圓為方的方法，並間接提到了<math>\pi</math>的錯誤值，例如3.2。該法案通過了印第安納州眾議院的表決，但參議院否決之。[2]: 211–212 [161][162]

註釋[編輯]

  1. ^ 這個多項式是正弦函數的泰勒級數展開的前三項。
  2. ^ 依照胡夫金字塔，那些和金字塔高度一致的圓形，周界應等同於金字塔底部的周界（即高度為280肘，周界為1760肘）[51]。
  3. ^ 例如，柯利弗德·皮寇弗稱π為「最知名的數學常數」，皮特森則寫道：「在所有數學常數當中，π一向最受矚目。」例如紀梵希π香水、Π (電影)以及圓周率日。[145][146]

參考資料[編輯]

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外部連結[編輯]

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