梯形
| 梯形 | |
|---|---|
| File:Trapezoid.svg 梯形 | |
| 类型 | 四边形 |
| 边 | 4 |
| 顶点 | 4 |
| 施莱夫利符号 | Module:SchläfliSymbol第133行Lua错误：attempt to index field 'wikibase' (a nil value) |
| 面积 | <math>\frac{1}{2}(a + b)h</math> |
| 特性 | 凸 |
在几何学中，梯形（美式英语：trapezoid，英式英语：trapezium）是有一组对边平行，一组对边不平行的凸四边形。梯形平行的两条边为底边，分别称为上底和下底，其间的距离为高，另外两条边为腰；下底与腰的夹角为底角，上底与腰的夹角为顶角。
性质[编辑]
中位线[编辑]
由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行，长度为上底与下底的长度之和的一半，即：<math display=block>m=\frac{\left(a+b\right)} 2</math>
高[编辑]
若<math>a, b</math>为梯形的底边，<math>c, d</math>为梯形的两腰，其中<math>a \ne b</math>，则两个底之间的距离称为高，其长度为： <math display=block>h=\frac{\sqrt{-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2\left|a-b\right|}</math>
面积[编辑]
梯形的面积<math>S</math>满足： <math display=block>S = \frac{1}{2}(a + b)h</math> 其中，<math>h</math>是梯形的高，<math>a</math>和<math>b</math>分别为其上底和下底。
事实上，由于中位线<math>m=\frac{a + b}{2}</math>因此梯形面积<math>S</math>亦满足： <math display=block>S=mh</math> 其中 <math>m</math> 为中位线的长度。
以上两个公式均适用于任何梯形，也包括平行四边形。
边与角的关系[编辑]
- 上下底边平行，因此上下邻角互为补角，度数和为180度。
- 对角线分割另一条对角线的比相同。
分类[编辑]
梯形通常可根据角的关系分为锐角梯形、直角梯形、钝角梯形三类。
锐角梯形[编辑]
锐角梯形（acute trapezoid）是指底边都是个锐角的梯形，等腰梯形是特殊的锐角梯形
直角梯形[编辑]
一个底角为90°的梯形是直角梯形（right trapezoid）。由于梯形的二底边平行，因此根据同旁内角关系，直角梯形一腰上的两个底角都是90°[1]。
钝角梯形[编辑]
钝角梯形（obtuse trapezoid）是指两底边都有一个锐角和一个钝角的梯形，平行四边形可看作是特殊（两腰相等）的钝角梯形[2]。
特殊的梯形[编辑]
等腰梯形[编辑]
两腰长度相等的梯形称为等腰梯形，具有如下性质：
- 两条对角线相等。
- 同一底上的二内角相等。
- 对角互补，四顶点共圆。
依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：
- 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
- 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形。
- 四顶点共圆的梯形是等腰梯形。
正交梯形[编辑]
对角线相互垂直的梯形是正交梯形。
圆外切梯形[编辑]
存在内切圆的梯形称为圆外切梯形，此外还有圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形子类型[3]。
参考文献[编辑]
- ^ Alsina & Nelsen 2020，第91页.
- ^ Alsina & Nelsen 2020，第90–91页.
- ^ R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5
