曲线

线指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。

在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

历史

• 若尔当曲线定理
• 变分法（最速降线问题、等时降线）
• 希尔伯特第十六问题
• 皮亚诺曲线和其他Space-filling curve
• 卷绕数

定义

在数学上，一条曲线的定义为：

设<math>I = [a, b]</math>为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线<math>c</math>就是一个连续函数<math>c : I \rightarrow X</math>的映射，其中<math>X</math>为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为<math>\mathbb{R}^2</math>。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若<math>I = [a, b]</math>和<math>f(a) = f(b)</math>，f是闭曲线（closed curve）或环圈。

曲线方程

参见：参数方程

一般来说，当在<math>\mathbb{R}^n</math>下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（）。

例如，<math>x^2 + y^2 = 1</math>是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线长度

参见：弧长

若<math>\gamma(t):[a, b] \to X \subset R^n</math>，则其长度是

<math display=block>L(\gamma) = \int_a^b \left|\gamma'(t)\right| \mathrm dt</math>

平面曲线

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程<math>y= f(x)</math>，那么它的长度就是：

<math display=block>\int_a^b {\sqrt {\left[ f'\left( x \right) \right] ^ 2 + 1} \;{\rm{d}}x} </math>

其中<math>a\,</math>、<math>b \,</math>为<math>x\,</math>的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程<math>x(t), y(t)</math>，那么它的长度就是：

<math display=block>\int_\alpha ^\beta {\sqrt {\left( {x'} \right)^2 + \left( {y'} \right)^2 } {\rm{d}}t}</math>

其中<math>\alpha\,</math>、<math>\beta\,</math>为<math>t\,</math>的上下限。

外部链接

• （英文）MacTutor著名曲线列图 （页面存档备份，存于互联网档案馆）