Θ函数

数学中，Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。

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Jacobi theta 1

File:Jacobi theta 2.png

Jacobi theta 2

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Jacobi theta 3

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Jacobi theta 4

Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论中，Θ函数是来自线丛条件。

雅可比Θ函数

雅可比Θ函数取二变量<math>z\,</math>与<math>\tau\,</math>，其中<math>z\,</math>为任何复数，而<math> \tau\,</math>为上半复平面上一点；此函数之定义为：

<math>\vartheta (z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \ e^{(\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z ) }</math>。

若固定<math> \tau\,</math> ，则此成为一周期为<math> 1 \,</math>的单变量<math>(z)\,</math>整函数的傅里叶级数：

<math>\vartheta( z+1; \tau) = \vartheta (z; \tau)</math> 。

在以 <math> \tau\,</math> 位移时，此函数符合：

<math>\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \ e^{(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)}\vartheta(z;\tau)</math>；

其中 <math>a \,</math>与<math>b \,</math>为整数。

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辅助函数

可定义辅助函数：

<math>\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+\frac{1}{2};\tau)</math>

<math>\vartheta_{10}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} z}\vartheta(z+\frac{\tau}{2};\tau)</math>

<math>\vartheta_{11}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} (z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2};\tau).</math>

其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量<math>q = e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,</math>替换了<math>\tau\,</math>，而称本条目中的Θ为<math>\theta_3\,</math>，<math>\vartheta_{01}</math>为<math>\theta_0\,</math>，<math>\vartheta_{10}</math>为<math>\theta_2\,</math>，<math>\vartheta_{11}</math>为<math>-\theta_1\,</math>。

若设<math>z= 0 \,</math>，则我们可从以上获得四支单以<math>\tau\,</math>为变量之函数，其中<math>\tau\,</math>取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得：

<math>\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4</math>,

是为四次费马曲线。

雅可比恒等式

雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：

<math>\alpha = (- {\mathrm{i}} \tau)^{\frac{1}{2}} e^{{\pi {\mathrm{i}} z^2}{\tau}}\,</math>

则

<math>\vartheta (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta(z; \tau)</math>

<math>\vartheta_{01} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)</math>

<math>\vartheta_{10} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)</math>

<math>\vartheta_{11} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)</math>

以nome q表示Θ函数

我们可用变量<math>w\,</math>与<math>q\,</math>，代替<math>z \,</math>与<math>\tau\,</math>，来表示ϑ。设<math>w =e^{\pi {\mathrm{i}} z}\,</math>而<math>q =e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,</math>。则ϑ可表示为：

<math>\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. </math>

而辅助Θ函数可表示为：

<math>\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},</math>

<math>\vartheta_{10}(w; q) = q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},</math>

<math>\vartheta_{11}(w; q) = {\mathrm{i}} q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.</math>

此表示式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。

乘积表示式

雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数<math>w\,</math>和<math>q\,</math>，其中<math>|q|<1 \,</math>而<math>w \neq 0\,</math>，则

<math>\prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right) \left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. </math>

此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（英语：An Introduction to the Theory of Numbers）。

若用nome变量<math>q = e^{\pi i \tau}\,</math>与<math>w = e^{\pi i z}\,</math>表示，则有：

<math>\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. </math>

由此得到Θ函数的积公式：

<math>\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right) \left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right) </math>

三重积等式左边可以扩展成：

<math>\prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),</math>

即

<math>\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)</math>。

这个式子在z取实值时尤为重要。 各辅助Θ函数亦有类似之积公式：

<math>\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).</math>

<math>\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).</math>

<math>\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).</math>

积分表示式

雅可比Θ函数可用积分表示，如下：

<math>\vartheta (z; \tau) = -i

\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du</math>

<math>\vartheta_{01} (z; \tau) = -i

\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.</math>

<math>\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4}

\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du</math>

<math>\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4}

\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du</math>

与黎曼ζ函数的关系

黎曼常用关系式

<math>\vartheta(0;-\frac{1}{\tau})=(-i\tau)^{\frac{1}{2}} \vartheta(0;\tau)</math>

以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：

<math>\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) =

\frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right] t^{\frac{s}{2}}\frac{dt}{t} </math> ； 而此积分于替换<math>s \to 1-s </math>下不变。 <math>z\,</math>非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。

与基本椭圆函数之关系

雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式，因为Θ函数中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：

<math>\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau)) + c</math>

其中二次微分相对于z，而常数c使<math>\wp(z)</math>的罗朗级数（于 z = 0）常项为零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏尔施特拉斯椭圆函数的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

与模形式之关系

设η为戴德金η函数。则

<math>\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}</math>.

解热方程

雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有

<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math>

此解此下方程：

<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math>。

于t = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）

<math>\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)</math>，

其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。

与海森堡群之关系

雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。

推广

若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数

<math>\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))</math>

其中Zⁿ为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数

<math>\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)</math>

中，R_F(k) 称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。

拉马努金Θ函数

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黎曼Θ函数

设

<math>\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}</math>

为一集对称方矩阵，其虚部为正定，一般称H_n为“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半复平面的高维推广。模群之n维推广为辛群Sp(2n,Z)： 当n = 1 时， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的n维推广为态射核<math>\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}</math>。

若设<math>\tau\in \mathbb{H}_n</math>，则可定义黎曼Θ函数：

<math>\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)</math>；

<math>\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i

\left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)</math>；

其中<math>z\in \mathbb{C}^n</math>为一n维复向量，上标T为转置。然则雅可比Θ函数为其特例（设n = 1、 <math>\tau \in \mathbb{H}</math>；其中<math>\mathbb{H}</math>为上半平面）。

在<math>\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.</math>的紧致子集上，黎曼Θ函数绝对一致收敛。

函数方程为：

<math>\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i

\left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)</math>；

此方程成立于 <math>a,b \in \mathbb{Z}^n</math>, <math>z \in \mathbb{C}^n</math> ， <math>\tau \in \mathbb{H}_n</math>。

q-Θ函数

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参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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