定理

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定理（英语：Theorem）是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些<math>a</math>是<math>x</math>，某些<math>a</math>是<math>y</math>，就不能算是定理）。

猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。猜想是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理。

如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。

在命题逻辑，所有已证明的叙述都称为定理。

各种数学叙述（按重要性来排列）

1. 数学原理
2. 公理（也称公设）－公理是没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。
3. 定理
4. 命题－通常，命题是一个可以判断真或假的陈述句，亦有既真又假的命题（悖论）。
5. 推论（也称系、系理）－一个从定理随之而即时出现的叙述。若命题B可以很快、简单地推导出命题A，命题A为命题B的推论。
6. 引理（也称辅助定理，补理）－某个定理的证明的一部分的叙述。它并非主要的结果。引理的证明有时还比定理长，例如舒尔引理。
7. 假说－根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明。

结构

定理一般都有许多条件。然后有结论——一个在条件下成立的数学叙述。通常写作“若条件，则结论”。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。

逆定理

若存在某叙述为<math>A\rightarrow B</math>，其逆叙述就是<math>B\rightarrow A</math>。逆叙述成立的情况是<math>A\leftrightarrow B</math>，否则通常都是倒果为因，不合常理。若果叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。

• 若某叙述和其逆叙述都为真，条件必要且充足。
• 若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足。
• 若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要。

逻辑中的定理

逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰

一个定理是一个含有由建立于语言集合<math>L</math>上的命题（<math>L</math>-命题）组成的非空集合。

这个定理（或这个命题集合）我们记作<math>T</math>，这些建立于语言集合<math>L</math>上的命题必须符合如下属性：

对所有在<math>T</math>中的命题<math>\varphi</math>，如果<math>T\vDash\varphi</math>，那么<math>\varphi\in T</math>。

比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合<math>L</math>上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理<math>T</math>的扩展（extension），前提是该定理包含定理<math>T</math>。

有一个命题集合<math>A</math>，我们将一个包含<math>A</math>的集合记作<math>\mbox{Th}(A)</math>，那么<math>\mbox{Th}(A)=\{\ \varphi\ \ |\ \ A\vDash\varphi\ \}</math> 。显而易见<math>A\vDash\mbox{Th}(A)</math>，所以<math>\mbox{Th}(A)</math>是一个定理。比如我们有一个集合<math>G</math>，<math>G</math>有三个基于语言<math>L</math>上的命题，其中<math>L=\{e,f\}</math>，<math>e</math>是常数符号，<math>f</math>是函数符号。三个命题如下：

<math>\forall x \forall y \forall z f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))</math>，

<math>\forall x f(x,e)=x \land f(e,x)=x</math>，

<math>\forall x \exist y f(x,y)=e \land f(y,x)=e </math>。

那么如果有<math>\mbox{Th}(G)=\{\ \varphi\ \ |\ \ G\vDash\varphi\ \}</math>，则<math>\mbox{Th}(G)</math>是<math>G</math>的定理。当然，如果<math>A</math>和<math>B</math>是两个命题集合且满足<math>A\subseteq B</math>，那么<math>\mbox{Th}(A)\subseteq\mbox{Th}(B)</math>。

我们说一个定理<math>T</math>是完整的（Complete），当且仅当对于和<math>T</math>一样构建在同样语言集合上的所有命题<math>\varphi</math>，要么<math>\varphi\in T</math>，要么<math>\lnot\varphi\in T</math>。

注意：这个概念不能和定理<math>T</math>的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理<math>T</math>中的永真命题是递推可枚举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如<math>\mbox{Th}(\Phi)</math>一个空集合<math>\{\Phi\}</math>的定理是所有真命题集合，但是<math>\mbox{Th}(\Phi)</math>不是完整的。假如有命题<math>\Psi=\exist x\exist y(x\neq y)</math>，对于<math>\Psi</math>来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说<math>\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\Psi</math>且<math>\mbox{Th}(\Phi)\nvDash\lnot\Psi</math>。因此<math>\Psi\notin\mbox{Th}(\Phi)</math>，所以我们说<math>\mbox{Th}(\Phi)</math>不是完整的。 一个定理<math>T</math>称作是稳健的（Consistante），当且仅当<math>\forall\varphi\in T,\ \lnot\varphi\notin T</math>。我们说对所有的解释（Interpretation）<math>I</math>，<math>\mbox{Th}(I)</math>是一个定理，并且<math>\mbox{Th}(I)</math>既是稳健的又是完整的。

参见

• 数学定理列表