虚数

<math>\vdots</math>

<math>i^{-3} = i</math>

<math>i^{-2} = -1</math>

<math>i^{-1} = -i</math>

<math>i^0 = 1</math>

<math>i^1 = i</math>

<math>i^2 = -1</math>

<math>i^3 = -i</math>

<math>i^4 = 1</math>

<math>i^5 = i</math>

<math>i^6 = -1</math>

<math>\vdots</math>

<math>i^n = i^{n \pmod 4}</math>

虚数是指可以写作实数与虚数单位<math>i</math>乘积的复数 ，并定义其性质为<math>i^2=-1</math>，以此定义，0可被视为同时是实数也是虚数（纯虚数）的数值。

17世纪著名数学家笛卡尔所著《几何学》（法语：La Géométrie）一书中，命名其为nombre imaginaire（虚构的数），成为了虚数（imaginary number）一词的由来。

后来在欧拉和高斯的研究之后，发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。虚轴和实轴构成的平面称复平面，复平面上每一点对应着一个复数。

File:Complex conjugate picture.svg

复平面的图示。虚数位于垂直坐标轴之上。

几何诠释

File:Rotations on the complex plane.svg

复平面上乘以虚数单位表示旋转九十度

在几何学上，复平面的垂直轴表示虚数，它们与代表实数的水平轴垂直。查看虚数的方法之一是参考标准数线：往右侧正幅度增长，往左侧则负幅度减少。在x轴的0点处，往上升方向可绘制y轴的“正”虚数，然后向上增加；而“负”虚数则往下增加。这个垂直轴通常被称为“虚轴”，并被表示为<math>i\mathbb{R}</math>，Im，<math>\mathbb{I}</math>，或<math>\Im</math>。

在该呈现图示中，乘以–1对应于以原点为中心180度的旋转。<math>i</math>的乘法对应于“逆时针”方向的90度旋转，而方程式<math>i^2=-1</math>可被解释为，如果我们对原点应用两个90度旋转，则终了结果是单一个180度旋转。注意，“顺时针”方向的90度旋转也满足这种解释。这反映了<math>-i</math>也解出了方程<math>x^2=-1</math>。一般来说，乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同，然后按其大小进行缩放。

负数的平方根

更多信息：平方根 § 负数与复数的平方根

我们应该将根号视为求<math>x^2</math>的解，故将一个数开根号后会有两个合理的值，此二值互相差一个负号。在将正数开根号时，这两个值一为正数一为负数，故习惯上直接将根号对应到正值，而负值的解以根号前加负号来表示。但对其它的数而言开根号没有自然的对应，<math>\sqrt{-1}</math>实际上代表的是两个数，分别为<math>+i</math>及<math>-i</math>。但若直接将<math>\sqrt{-1}</math>对应到<math>+i</math>，而<math>-\sqrt{-1}</math>对应到<math>-i</math>也未尝不可。

性质

1. 不同的虚数都是不能比较大小的：<math>1<2\,</math>成立，但<math>1+i<2+i\,</math>和<math>i<2i\,</math>却均不成立。

举例说明：（反证法）

假设<math>i>0\,</math>

平方得<math>i^2>0\,</math>

得<math>-1>0\,</math>即可看出矛盾。

再举例：假设<math>i<0\,</math>

平方得<math>i^2>0\,</math>（不等式两侧同乘假设为负的<math>i</math>，不等式由小于变为大于）

得<math>-1>0\,</math>即可看出矛盾。

因此虚数或者说虚部不为0的复数不能比较大小。

2. 因为<math>i^0 = 1\,</math>，<math>i^1 = i\,</math>，<math>i^2 = -1\,</math>，<math>i^3 = -i\,</math>，<math>i^4 = 1\,</math>，<math>\cdots</math>，很容易知道<math>i^n\,</math>（<math>n \in \mathbb{N}\,</math>）是关于指数<math>n\,</math>的周期函数，最小正周期是<math>4\,</math>。于是，我们有

<math>i^1 + i^2 + i^3 + i^4 =0\,</math>

这表示<math>i\,</math>为方程<math>x+x^2+x^3+x^4 = 0\,</math>的一个根，另三个根分别为<math> -i , -1\,</math>及<math> 0\,</math>。

另外可以证明

<math>\omega = - \frac {1}{2} + \frac {\sqrt 3}{2} i\,</math>

和

<math>\overline \omega = - \frac {1}{2} - \frac {\sqrt 3}{2} i\,</math>

为下列方程的根

<math>x^2 + x + 1 = 0\,</math>

<math>x^3 = 1\,</math>

其中，<math>\overline \omega\,</math>称为<math>\omega\,</math>的共轭虚数（或共轭复数）。

3. 如果再将虚数的这个概念扩展开去，就可以组成四元数（Quaternion）、八元数（Octonion）等特殊数学范畴。

参见

• 虚数单位
• 复数
• 四元数
• 八元数

外部链接

• 虚数i的介绍
• <math>i^{7321}\,</math>的计算方法举例
• i作为-1的平方根