蚌线

File:尼科美迪斯蚌线.svg

绿色为直线，黑色为直线外一点，所有红色线段和蓝色线段的长度均相等。紫色和橙色曲线是绿色直线关于黑色点的蚌线，紫色为内支，橙色为外支

File:Conchoid of Nicomedes ani.gif

极点和原直线不变、迹距不同的一系列蚌线

在平面几何中，蚌线是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 <math>O</math> 的动直线与给定曲线 <math>c</math> 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 <math>k</math> ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 <math>c</math> 关于极点 <math>O</math> 和迹距 <math>k</math> 的蚌线。

用解析几何的方式来表述：平面曲线 <math>c</math> 的极坐标方程为 <math>\rho = f(\theta)</math> ，则以 <math>\rho = f(\theta)\pm k</math> 为方程的曲线是 <math>c</math> 关于原点的蚌线。

“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线。是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。

尼科美迪斯蚌线

File:Konchoide gerade.svg

灰色为直线，黑色为蚌线的极点

  迹距小于极点与直线的距离，极点与内支分离

  迹距等于极点与直线的距离，极点是内支的尖点

  迹距大于极点与直线的距离，极点是内支的结点

性质

有定直线 <math>l</math> 和直线外一固定点 <math>O</math>，过点 <math>O</math> 的动直线与 <math>l</math> 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 <math>l</math> 关于极点 <math>O</math> 的蚌线 <math>c</math> ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 <math>l</math> 。

通常记 <math>l</math> 与点 <math>O</math> 的距离为 <math>a</math> ，迹距为 <math>b</math>。根据 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的关系，内支有三种不同形态：

• 当 <math>b < a</math> 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
• 当 <math>a = b</math> 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
• 当 <math>b > a</math> 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 <math>l</math> 垂直并通过极点 <math>O</math>。

历史和应用

File:Nicomedes.gif

尼科米迪斯发明的工具，用来绘制直线蚌线的外支

古希腊数学家是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。

帕普斯将该曲线称为“螺线”（），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（）。

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。

倍立方体

File:蚌线解倍立方体.svg

借助蚌线作出长度为<math>\sqrt[3]{2}</math>的线段

作线段 <math>AB = 1</math> 。以点 <math>A</math> 为圆心、<math>AB</math> 为半径作圆，以点 <math>B</math> 为圆心、<math>AB</math> 为半径作圆，交于点 <math>C</math> 。

过点 <math>A</math> 作线段 <math>AC</math> 的垂线 <math>l</math>。以点 <math>C</math> 为极点、<math>AB</math> 为迹距作直线 <math>l</math> 的蚌线外支。

延长 <math>BA</math> 交蚌线于点 <math>D</math> 。延长 <math>AB</math> 交圆 <math>B</math> 于点 <math>E</math> 。连接 <math>CD</math> 交 <math>l</math> 于点 <math>F</math> 。线段 <math>CF</math> 的长度即为 <math>\sqrt[3]{2}</math> 。

代数证明

设 <math>CF = x</math> 。显然 <math>x</math> 是正实数。 因为 <math>\triangle AFC</math> 为直角三角形，所以 <math>AF = \sqrt {CF^2-CA^2}=\sqrt {x^2-1}</math> 。 又因为 <math>\triangle ADF \sim \triangle EDC</math> ，所以 <math>AF = {EC \over CD} \cdot FD={{\sqrt 3} \over x+1}</math> 。 <math>\sqrt {x^2-1} ={{\sqrt 3} \over x+1}</math> <math>(x^2-1)(x+1)^2 = 3 </math> <math>x^4+2x^3-2x-4=0</math> <math>(x+2)(x^3-2)=0</math> <math>x^3-2=0</math> <math>x=\sqrt[3]{2}</math>

尼科美迪斯的几何证明
作长方形 <math>ABGH</math> ，<math>AH=BG=2AB=2GH</math> 。 延长 <math>DH</math> ，延长 <math>BG</math> ，交于点 <math>K</math> 。 连接 <math>EH</math> ，交 <math>BG</math> 于点 <math>L</math> ，点 <math>L</math> 是 <math>BG</math> 中点。 取 <math>AB</math> 中点 <math>M</math>，连接 <math>MC</math> 。	File:蚌线解倍立方体2.svg
<math>AD \cdot BD =(MD-MA)\cdot (MD+MB)</math> <math>AD \cdot BD +MA^2 =MD^2</math> <math>AD \cdot BD +MA^2 +MC^2=MD^2+MC^2</math> <math>AD \cdot BD +AC^2=CD^2</math>
<math>\triangle KBD \sim \triangle KGH \sim \triangle HAD</math> <math>KG:GH = HA:AD</math> <math>\because GH=GL ,\ AH=2AB=AE</math> <math>\therefore KG:GL = AE:AD =FC:FD</math> <math>\because FD =AB=GL</math> <math>\therefore KG = FC</math> <math>KL=KG+GL=FC+FD=CD</math> <math>KL^2=CD^2</math>
<math>KL^2=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^2</math> <math>KL^2=KB\cdot KG+GL^2</math> <math>CD^2=AD \cdot BD +AC^2</math> <math>\therefore KB\cdot KG+GL^2 = AD \cdot BD +AC^2</math> <math>KB\cdot KG = AD \cdot BD</math> <math>AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD</math>
<math> HA:AD=AD:KG=KG:GH</math> <math> HA=2GH</math> <math>\therefore KG=\sqrt[3]{2}GH</math>

三等分角

File:蚌线三等分角.svg

借助蚌线三等分任意锐角

作任意直角三角形 <math>\triangle OAB</math> ，点 <math>A</math> 为垂足。以点 <math>O</math> 为极点、<math>2\ OB</math> 为迹距作直线 <math>AB</math> 的蚌线外支。

过点 <math>B</math> 作直线 <math>AB</math> 的垂线，交蚌线于点 <math>C</math>。 <math>OC</math> 就是 <math>\angle AOB</math> 的三等分线。

证明
作 <math>OC</math> 与 <math>AB</math> 的交点 <math>D</math> 。取 <math>CD</math> 的中点 <math>E</math> ，连接 <math>BE</math> 。 根据蚌线和直角三角形的性质，可知 <math>OB = CE = DE = BE</math> 。 易证得 <math>\angle BOD = \angle BED = \angle EBC + \angle C = 2 \angle C = 2 \angle AOD </math> 。 故 <math>\angle AOD = {1 \over 3} \angle AOB</math> 。

解析几何

在极坐标系中，设点 <math>O</math> 为坐标原点，则直线 <math>l</math> 和蚌线 <math>c</math> 的方程可以表示为：

<math>l : \ \rho = a {\sec \theta} </math>

<math>c : \ \rho = a {\sec \theta} \pm b</math>

<math>(-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+)</math>

在直角坐标系中，设点 <math>O</math> 为坐标原点，则直线 <math>l</math> 和蚌线 <math>c</math> 的方程可以表示为：

<math>l : \ x = a</math>

<math>c : \ (x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2</math>

<math>(a, b \in \mathbb{R}^+)</math>

或用参数方程表示为：

<math>\begin{cases}

x=a \pm b \cos \theta \\ y=a \tan \theta \pm b \sin \theta \end{cases}</math>

（上下正负号同号，<math>-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2} \ , \ a, b \in \mathbb{R}^+</math>）

尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。

帕斯卡蜗线

帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。

作圆 <math>O</math> 关于圆上一个定点 <math>A</math> 、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 <math>B</math>，延长 <math>BO</math> 至圆外，与所作蚌线交于点 <math>C</math>。根据蚌线的性质，易知 <math>\angle ACB = {1 \over 3} \angle AOB</math> 。这条特殊的蚌线被称为。

• 圆关于圆上一点、迹距小于圆径的蚌线
  圆关于圆上一点、迹距小于圆径的蚌线
• 圆关于圆上一点、迹距等于圆径的蚌线，即心脏线
  圆关于圆上一点、迹距等于圆径的蚌线，即心脏线
• 三等分角蜗线
  三等分角蜗线

其他蚌线

• 圆对圆外一点的蚌线，迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离
  圆对圆外一点的蚌线，迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离
• 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点
  圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点
• 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最大距离，大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点
  圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最大距离，大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点
• 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点
  圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点
• 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离
  圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离

• 圆对圆内一点的一条蚌线
  圆对圆内一点的一条蚌线
• 抛物线对线外一点的一条蚌线
  抛物线对线外一点的一条蚌线
• 正弦曲线对线外一点的一条蚌线
  正弦曲线对线外一点的一条蚌线
• 立方曲线对线外一点的一条蚌线
  立方曲线对线外一点的一条蚌线
• 双曲线一支对线上一点的蚌线
  双曲线一支对线上一点的蚌线
• 椭圆对于中心、迹距等于半短轴的蚌线，内支有两个重合的尖点
  椭圆对于中心、迹距等于半短轴的蚌线，内支有两个重合的尖点