同调

Template:NoteTA 数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造

其过程如下：给定对象<math>X</math>，首先定义链复形，它包含了<math>X</math>的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模<math>A_0,A_1,A_2,\dots</math>的序列，群同态<math> d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}</math>满足任何两个相连的同态的复合为0: <math> d_n \circ d_{n+1} = 0 </math>对于所有<math>n</math>成立。这意味着第<math>n+1</math>个映射的像包含在第<math>n</math>个映射的核中，我们定义<math>X</math>的<math>n</math>阶同调群为商群（商模）

<math> H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}).</math>

链复形称为正合的，如果（<math>n+1</math>）阶映射的像总是等于<math>n</math>阶映射的核。因此<math>X</math>的同调群是衡量<math>X</math>所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。

非正式的例子

非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

<math>H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots </math>

其中第<math>k</math>个同调群<math>H_k(X)</math>描绘了<math>X</math>中的<math>k</math>维圈 (cycle)，实现为<math>k+1</math>维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈，也即点，实现成一维圆盘，也即线段的边界的障碍，因此<math>H_0(X)</math>刻画了<math>X</math>中的道路连通分支。

File:Circle - black simple.svg

圆，或称为1维球面<math>S^1</math>

一维球面 <math>S^1</math>是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出

<math>H_k(S^1) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 1 \\ 0 & k \neq 0, 1 \end{cases}</math>

其中<math>\mathbb Z</math>表示整数加群，<math>0</math>表示平凡群。<math>H_1(S^1) \cong \mathbb Z</math>表示<math>S^1</math>的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。

File:Sphere wireframe 10deg 4r.svg

2维球面<math>S^2</math>即球的球壳，不包括球的内部。

二维球面<math>S^2</math>有一个连通分支，零个一维圈，一个二维圈（即球面），无更高维的圈，其对应的同调群为

<math>H_k(S^2) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 2 \\ 0 & k \neq 0, 2 \end{cases}</math>

一般地，对<math>n</math>维球面<math>S^n</math>，其同调群为

<math>H_k(S^n) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, n \\ 0 & k \neq 0, n \end{cases}</math>

File:1-ball.svg

实心圆盘，即2维球<math>B^2</math>

二维实心球<math>B^2</math>有一个道路连通分支，但与圆不同的是，<math>B^2</math>没有一维或更高维的圈，其对应的同调群除了零阶同调群<math>H_0(B^2) \cong \mathbb Z</math>以外，其余阶的同调群均为平凡群。

File:Simple torus with cycles.svg

环面<math>T = S^1 \times S^1</math>

环面被定义为两个圆<math>T^2 = S^1 \times S^1</math>的笛卡尔积。环面有一个道路连通分支，两个独立的一维圈（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维圈（环面的内部）。其对应的同调群为

<math>H_k(T^2) \cong \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 2 \\ \mathbb Z\times \mathbb Z & k=1 \\ 0 & k \geq 3 \end{cases}</math>

两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群<math>\mathbb Z\times \mathbb Z</math>.

例子

引入同调的概念可以用单纯复形<math>X</math>的单纯同调：设<math>C_n</math>为<math>X</math>中的<math>n</math>维可定向单纯形生成的自由交换群或者模，映射<math>\partial_n:C_n\rightarrow C_{n+1}</math>映射称为边缘映射 (boundary map)，它将<math>n</math>维单纯形

<math>\sigma:\Delta^n\rightarrow X </math>

映射为如下交错和

<math> \sum_{i=0}^n (-1)^i\sigma|_{[e_0,\ldots,e_{i-1},e_{i+1},\ldots,e_n]}.</math>

，其中<math>\sigma|_{[e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n]}</math>表示<math>\sigma</math>限制在<math>e_0,\cdots,e_{i-1},e_{i+1},\cdots,e_n</math>对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上，则<math>X</math>的<math>n</math>阶同调的维数就是<math>X</math>中<math>n</math>维圈的个数。

仿照单纯同调群，可以定义任何拓扑空间<math>X</math>的奇异同调群。我们定义<math>X</math>的上同调的链复形中的空间为<math>A_n</math>为自由交换群（或者自由模），其生成元为所有从<math>n</math>为单纯形到<math>X</math>的连续函数。同态<math>d_n</math>从单纯形的边缘映射得到。

同调代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子<math>F</math>和某个模<math>X</math>开始。<math>X</math>的链复形定义如下：首先找到一个自由模<math>F_1</math>和一个满同态<math> p_1 : F_1 \rightarrow X </math>。然后找到一个自由模<math>F_2</math>和一个满同态<math> p_2 : F_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p_1) </math>。以该方式继续，得到一个自由模<math>F_n</math>和同态<math>p_n</math>的序列。将函子<math>F</math>应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调<math>H_n</math>仅依赖于<math>F</math>和<math>X</math>，并且按定义就是<math>F</math>作用于<math>X</math>的n阶导出函子。

同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形<math>(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})</math>到链复形<math>(e_n : B_n \rightarrow B_{n-1})</math>的态射是一个同态的序列<math> (f_n : A_n \rightarrow B_n) </math>，满足<math>f_{n-1} \circ d_n = e_{n-1} \circ f_n </math>对于所有<math>n</math>成立。<math>n</math>阶同调 <math>H_n</math>可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象<math>X</math>（也就是任何态射<math> X \rightarrow Y </math>诱导出一个从<math>X</math>的链复形到<math>Y</math>的链复形的态射），则<math>H_n</math>是从<math>X</math>所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于<math>X</math>，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为<math>H^n</math>）构成从<math>X</math>所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质

若<math>(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})</math>是链复形，满足出有限个<math>A_n</math>外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

<math> \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A_n) </math>

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:

<math> \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H_n) </math>

特别地，在代数拓扑中，欧拉示性数<math>\chi</math>是拓扑空间的重要不变量。

此外，每个链复形的短正合序列

<math> 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 </math>

诱导一个同调群的长正合序列

<math> \cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,</math>

这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出，除了映射<math> H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) </math>之外。后者称为连接同态，由蛇引理给出。

参看

• 奇异同调
• 上同调
• 同调论
• 同调代数

参考文献

• Template:Cite book 有仔细讨论单复形、流形的同调论、奇异同调等。
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