超复数

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各种各样的数
基本

<math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math> File:NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率 <math>\pi = 3.14159265 </math>…
自然对数的底 <math>e = 2.718281828 </math>…
虚数单位 <math>i = \sqrt{ 1} } </math>
無限大 <math>\infty</math>

超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。 此種代數舉例如下：

歷史[编辑]

19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。

分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉[1]，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實複合代數（英语：composition algebra）僅得實數系<math>\mathbb{R}</math>、複數系<math>\mathbb{C}</math>、四元數系<math>\mathbb{H}</math>、八元數系<math>\mathbb{O}</math>，而弗羅貝尼烏斯定理（英语：Frobenius theorem (real division algebras)）斷言，實結合除代數（英语：associative division algebra）僅得<math>\mathbb{R}</math>、<math>\mathbb{C}</math>、<math>\mathbb{H}</math>。1958年，弗蘭克·亞當斯（英语：Frank Adams）考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。[2]

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如<math>2 \times 2</math>實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。[3][註 1]此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系，也算是另一類的超複數。

湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）[4]解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉[5]。1973年，以賽亞·坎托爾（英语：Isaiah Kantor）和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書[6]，該書於1989年翻譯成英文。[7]

凱倫·帕歇爾（英语：Karen Parshall）詳細介紹全盛期的超複數研究[8]，包括數學家特奧多爾·莫林（英语：Theodor Molien）[9]和愛德華·斯圖迪（英语：Eduard Study）[10]的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，巴爾特·倫德特·范德瓦爾登（英语：Bartel van der Waerden）在《代數史》[11]有三十頁專論超複數。

定義[编辑]

Kantor & Solodovnikov (1989)定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。[12] 該些元素可以寫成一組基<math>\{ 1, i_1, \dots, i_n \}</math>的線性組合，其中系數為實數<math>(a_0, \dots, a_n)</math>，而基的大小<math>n+1</math>稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取<math>i_k</math>使<math>i_k^2 \in \{ -1, 0, +1 \}</math>。下節先考慮二維超複數（即<math>n=1</math>）。

二維實代數[编辑]

關於二維實代數有以下定理：[6]: 14, 15 [13][14]在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維，可選一組基<math>\{1, u\}</math>。因為代數對乘法封閉，<math>u</math>的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

<math>u^2=a_0+a_1u,</math>

其中<math>a_0, a_1</math>為實系數。

運用常見的配方法，兩邊減走<math>a_1u</math>並加上<math>a_1^2/4</math>，得：

<math>u^2-a_1u+\frac{a_1^2}{4} = a_0+\frac{a_1^2}{4}.</math>

所以<math>\left(u-\frac{a_1}{2}\right)^2 = \tilde{u}^2</math>，其中<math>\tilde{u}^2=a_0 + \frac{a_1^2}{4}</math>是實數。 取決於此實數值，分別有三種情況：

  1. 若<math>4a_0 = -a_1^2</math>，則上式變成<math>\tilde{u}^2 = 0</math>。於是，<math>\tilde{u}</math>可視為二元數的基<math>\{1, \varepsilon\}</math>中的冪零元<math>\varepsilon</math>。
  2. 若<math>4a_0 > -a_1^2</math>，則有<math>\tilde{u}^2 > 0</math>。雙曲複數的標準基<math>\{ 1 , j \}</math>滿足<math>j^2 = +1</math>，故若除<math>\tilde{u}</math>以正實數<math>a:=\sqrt{a_0+\frac{a_1^2}{4}}</math>（其平方與<math>\tilde{u}</math>平方相等），得到的結果即可視為<math>j</math>。
  3. 若<math>4a_0 < -a_1^2</math>，則有<math>\tilde{u}^2 < 0</math>。平常複數的標準基<math>\{ 1 , i \}</math>滿足<math>i^2 = -1</math>，故若除<math>\tilde{u}</math>以正實數<math>a:=\sqrt{\frac{a_1^2}{4a_0}</math>（其平方与<math>\tilde{u}</math>平方互为相反数），得到的结果即可视为<math>i</math>。

从而定理成立。

复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根<math>j</math>（如双曲复数），则也有幂等元<math>\tfrac{1}{2} (1 \pm j)</math>和零因子（因为<math>(1 + j)(1 - j) = 0</math>），故此种代数必不为除代数（粤语：除代數）。然而，此种性质有时很有用，例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。

《数学杂志》在2004年的某版中，称二维实代数为“广义复数”（generalized complex numbers）。[15]四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。[16]

高维例子（有多于一条非实轴）[编辑]

克利福德代数[编辑]

主条目：克利福德代数

克利福德代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上，其等价于可以定义对称标量积<math>u \cdot v = \tfrac{1}{2}(uv + vu)</math>，正交化该二次型，以得到基<math>\{e_1, \ldots, e_k\}</math>，满足：

<math>\tfrac{1}{2} (e_i e_j + e_j e_i) = \left\{ \begin{matrix} -1, 0, +1, & i=j, \\
                                  0, &  i \not = j. \end{matrix} \right. </math>

由乘法封闭性，该向量空间的基相乘得到<math>2^k</math>个克利福德数（英语：Multivector），即<math>1,\ e_1,\ e_2,\ e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2,\ \ldots,\ e_1 e_2 e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2 \cdots e_k</math>，皆为克利福德代数的元素，且组成该代数的基（不同于原向量空间的基），可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基<math>\{e_1, \ldots, e_k\}</math>不同，该代数的其他基元素不一定反交换，而是取决于将两个因子对调时，会交换的简单因子（即<math>e_i</math>）有奇数对抑或偶数对。所以，<math>e_1 e_2 = -e_2 e_1</math>，但<math>e_1 (e_2 e_3) = + (e_2 e_3) e_1</math>。

若不允许<math>e_i^2 = 0</math>（即二次型非退化（英语：Degenerate bilinear form）），则余下的克利福德代数可记为<math>\mathrm{Cl}_{p,q} (\mathbb R)</math>，表示其为<math>p</math>个满足<math>e_i^2 = +1</math>的简单基元和<math>q</math>个满足<math>e_i^2 = -1</math>的简单基元生成的代数，而括号内的<math>\mathbb R</math>指明此为实域上的克利福德代数，即元素的系数为实数。

该些代数称为几何代数，组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋，因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。

此族代数包括：复数系<math>\mathrm{Cl}_{0,1} (\mathbb R)</math>、双曲复数系<math>\mathrm{Cl}_{1,0} (\mathbb R)</math>，四元数系<math>\mathrm{Cl}_{0,2} (\mathbb R)</math>、分裂复四元数系（英语：split-biquaternion）<math>\mathrm{Cl}_{0,3} (\mathbb R)</math>、分裂四元数系<math>\mathrm{Cl}_{1,1} (\mathbb R)\cong\mathrm{Cl}_{2,0} (\mathbb R)</math>（二维空间生成的自然代数）、<math>\mathrm{Cl}_{3,0} (\mathbb R)</math>（三维空间生成的自然代数，也是包立矩阵生成的代数）、时空代数<math>\mathrm{Cl}_{1,3} (\mathbb R)</math>。

代数<math>\mathrm{Cl}_{p, q}(\mathbb R)</math>可以视为代数<math>\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)</math>的偶子代数<math>\mathrm{Cl}_{q+1, p}^{[0]}(\mathbb R)</math>，从而可用作描述<math>\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)</math>中的旋转。因此，复数密切关系二维空间的旋转，四元数密切关系三维空间的旋转，双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转（洛仑兹变换），余可类推。

虽然八维或以上时，凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合，任意维数的克利福德代数皆可结合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯（英语：Ian R. Porteous）有关克利福德代数的书中，论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况：[17]

设<math>A</math>为实结合代数，且具有单位元<math>1</math>。则
  • <math>1</math>生成<math>\mathbb R</math>（实子代数），
  • 若<math>e_0 \in A</math>是任何满足<math>e_0^2 = -1</math>的元素，则其生成的二维子代数与<math> \mathbb C</math>同构（复子代数），
  • 若<math>e_0 \in A</math>是任何满足<math>e_0^2 = +1</math>的元素，则其生成的二维子代数与<math> \mathbb R^2</math>同构（此处<math> \mathbb R^2</math>是实二元组的集合，其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构），
  • 若<math>e_0 ^2 = e_1 ^2 = -1</math>，且<math>e_0, e_1</math>反交换，则<math>\{e_0, e_1\}</math>生成的四维子代数同构于<math>\mathbb H</math>（四元数代数），
  • 若<math>e_0 ^2 = e_1 ^2 = 1</math>，且<math>e_0, e_1</math>反交换，则<math>\{e_0, e_1\}</math>生成的四维子代数同构于<math>\mathcal M_2 (\mathbb R)</math>（元素为<math>2 \times 2</math>实矩阵，或分裂四元数），
  • 若<math>e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = -1</math>，且<math>e_0, e_1, e_2</math>两两反交换，则其生成的八维子代数同构于<math>\ {}^2 \mathbb H</math>（分裂复四元数代数（英语：split-biquaternion）），
  • 若<math>e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = 1</math>，且<math>e_0, e_1, e_2</math>两两反交换，则其生成的八维子代数同构于<math>\mathcal M_2(\mathbb C)</math>（元素为<math>2 \times 2</math>复矩阵，亦可视为复四元数或包立代数）。

超出该些古典代数的延伸，见克利福德代数的分类（英语：Classification of Clifford algebras）。

凯莱－迪克森构造[编辑]

更多信息：凯莱-迪克森结构

撇除实数系、复数系、四元数系不计，其他克利福德代数<math>\mathrm {Cl}_{p, q}(\mathbb R)</math>皆含有平方为<math>+1</math>的非实数，故不能为除代数。凯莱－迪克森构造是另一个扩展复数系的方法，其给出维数为<math>2^n\ (n = 2,\ 3,\ 4,\ldots)</math>的数系，该些数系的基<math>\{1, i_1, \dots, i_{2^n-1}\}</math>满足：所有非实的基元两两反交换，且<math>i_m^2 = -1</math>。在8维或以上时（即<math> n \ge 3 </math>），该些代数不可结合，而在16维或以上时（即<math>n \ge 4</math>），该些代数有零因子。

此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升，其代数结构的对称性逐一失去：四元数乘法不可交换，八元数乘法不可结合，而十六元数的范数不具积性。

凯莱－迪克森构造的某些步骤中，若插入额外的符号，则得到复合代数（英语：composition algebra）中的“分裂代数”，而非除代数：

分裂复数系：有基<math>\{ 1, i_1 \}</math>，满足<math>\ i_1^2 = +1</math>，
分裂四元数系：有基<math>\{ 1, i_1, i_2, i_3 \}</math>，满足<math>\ i_1^2 = -1, i_2^2 = i_3^2 = +1</math>，
分裂八元数系（英语：split-octonion）：有基<math>\{ 1, i_1, \dots, i_7 \}</math>，满足<math>\ i_1^2 = i_2^2 = i_3^2 = -1</math>，<math>\ i_4^2 = i_5^2 = i_6^2 = i_7^2 = +1</math>。

与复数系不同，分裂复数系并非代数闭，甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似，分裂四元数系亦不可交换，但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合，也含有幂零元。

张量积[编辑]

两个代数的张量积仍为代数，如此可构造更多超复数系。

作为例子，取2维实代数<math> \mathbb C </math>（复数系）、4维实代数<math>\mathbb H</math>（四元数系）、8维实代数<math>\mathbb O</math>（八元数系），分别与<math>\mathbb C</math>作张量积，依次得4维的双复数系<math>\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb C</math>、8维的复四元数系<math>\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb H</math>、16维的复八元数系<math>\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb O</math>。

其他例子[编辑]

参见[编辑]

注[编辑]

  1. ^ 埃米尔·阿廷其后推广韦德伯恩的结果，定理因而得名阿廷-韦德伯恩定理。

参考资料[编辑]

  1. ^ Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, American Journal of Mathematics, 1881, 4 (1): 221–6, JSTOR 2369153 （English） 
  2. ^ Adams, J. F., On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One (PDF), Annals of Mathematics, July 1960, 72 (1): 20–104 [2021-07-28], JSTOR 1970147, doi:10.2307/1970147, （原始内容 (PDF)存档于2016-01-25） （English） 
  3. ^ J.H.M. Wedderburn, On Hypercomplex Numbers, Proceedings of the London Mathematical Society, 1908, 6: 77–118 [2021-07-28], doi:10.1112/plms/s2-6.1.77, （原始内容存档于2021-08-03） （English） 
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  7. ^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989, ISBN 978-0-387-96980-0, MR 0996029 （English） 
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  9. ^ Molien, Theodor, Ueber Systeme höherer complexer Zahlen, Mathematische Annalen, 1893, 41 (1): 83–156 [2021-07-28], S2CID 122333076, doi:10.1007/BF01443450, （原始内容存档于2021-08-03） （Deutsch） 
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