相交

在数学中，相交是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分，或者说同时属于两者的点的集合不是空集。若两个几何图形在某个地方有且只有一个交点，则可以称为相切而不是相交。如果两个图形完全重合，则一般不称为相交。

直线的相交

在欧几里得平面上，两条直线要么平行，要么相交，要么重合。这时欧几里得第五公设的推论。相交的两条直线恰好有一个交点。在非欧几何中，按几何特性（曲率），可以分为两类。罗巴切夫斯基几何中两条直线要么平行，要么相交，但平行线不止一条。黎曼几何中两条直线总是相交。

三维空间或更高维空间中，两条直线相交则必定共面。

圆的相交

欧几里得几何中，同一平面上的两个圆之间的关系有四种：相离、相切、相容和相交。相离指两圆没有交点而且没有一个圆在另一个圆内部。相切是指两圆只有一个交点。相交是指两圆有多于一个交点。相容是指两圆没有交点且一个圆在另一个内部。

两个圆相交当且仅当两个圆心之间的距离严格小于两圆的半径之和，并严格大于两圆的半径之差。

解析几何中的判别方法

在平面解析几何中，设两条直线的方程为：

<math>(\mathcal{D}_1) :\, \ a_1 x + b_1 y = c_1</math>

<math>(\mathcal{D}_2) :\, \ a_2 x + b_2 y = c_2</math>

那么<math>(\mathcal{D}_1)</math>与 <math>(\mathcal{D}_2)</math> 相交当且仅当行列式：

<math>\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}=a_1 b_2 - a_2 b_1 </math>不等于零。

对于两圆相交，设两个圆的方程是：

<math>(\mathcal{C}_1) :\, \ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2</math>

<math>(\mathcal{C}_2) :\, \ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2</math>

那么<math>(\mathcal{C}_1)</math>与 <math>(\mathcal{C}_2)</math> 相交当且仅当：

<math>|r_1 - r_2| < \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 }< |r_1 + r_2|</math>

例子

直线

• 设两条直线的方程是：

<math>(\mathcal{D}_1) :\, \ 3 x + 5 y = 18</math>

<math>(\mathcal{D}_2) :\, \ 6 x - y = 3</math>

由于行列式：<math>\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & -1 \end{vmatrix}=-33 \neq 0 </math>，两直线相交。交点为<math>(1, 3)</math>。

• 设两条直线的方程是：

<math>(\mathcal{D}_1) :\, \ 3 x + 5 y = 18</math>

<math>(\mathcal{D}_2) :\, \ 6 x + 10 y = 3</math>

由于行列式：<math>\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 10 \end{vmatrix}= 0 </math>，两直线不相交（实际上平行）。

圆

• 设两个圆的方程是：

<math>(\mathcal{C}_1) :\, \ (x - 1)^2 + (y +4)^2 = 6^2 = 36</math>

<math>(\mathcal{C}_2) :\, \ (x + 3)^2 + (y +1)^2 = 2^2 = 4</math>

这时两个圆心的距离是：<math>\sqrt{[1 - (-3)]^2 + [-4 - (-1)]^2} = 5</math>，<math>|6 - 2|< 5 <|6+2|</math>，因此两圆相交。

参见

• 拓扑学
• 几何学
• 交集

参考来源

• R.A.约翰逊 著，单壿 译. 近代欧氏几何学. 上海教育出版社. 1999. ISBN 7-532-06392-0. 
• 盛为民. 解析几何学. 浙江大学出版社. 2008. ISBN 7-308-06149-0.