摆线

File:Cycloid f.gif

一条由滚动的圆所生成的摆线

在数学中，摆线（Cycloid）的定义为圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种，亦称圆滚线。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

历史

摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线一拱的区域面积是滚动圆的面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是滚动圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。

方程式

File:Cycloid04.png

由半径为2的圆所生成的摆线

过原点半径为r的摆线参数方程为

<math>x = r(t - \sin t)\,</math>

<math>y = r(1 - \cos t)\,</math>

在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度；摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。

通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程为

<math>x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}</math>

也可写成

<math>\cos\!\left(\frac{|x|+\sqrt{y(2r-y)}}{r}\right) + \frac{y}{r} = 1</math>

摆线也满足下面的微分方程。

<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.</math>

面积

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

<math>x = r(t - \sin t),\,</math>

<math>y = r(1 - \cos t),\,</math>

<math>0 \le t \le 2 \pi.\,</math>

微分，

<math>\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),</math>

于是可以求得

<math>\begin{align}

A &= \int_{x=0}^{x=2 \pi r} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ &= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\ &= 3 \pi r^2. \end{align}</math>

弧长

弧形的长度可以由下面的式子计算出：

<math>\begin{align}

S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \sqrt{\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\ &= 8r. \end{align}</math>

其它相关联的曲线

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线（curtate cycloid）和长摆线（prolate cycloid），两者合称为次摆线（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）

应用

File:Kimbell Art Museum.jpg

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum

在建筑物的设计方面，摆线曾被路易·卡恩用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑金贝尔艺术博物馆。 它也曾被用于设计新罕布什尔州汉诺威的霍普金斯中心。

参考

• An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Cycloid. MathWorld. 
• Cycloids （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆）, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Cicloides y trocoides
• Cycloid Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.