法线

File:Normal vectors2.svg

多边形（polygon）及其两个法向量（normal vector）

File:Surface normal illustration.svg

曲面（surface）上的点与切平面（tangent plane）上的点具有相同的法线（normal）

三维平面的法线，或称法向量（英语：Normal）是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（computer graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方

法线的计算

对于像三角形这样的多边形来说，多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程<math>ax+by+cz=d</math>表示的平面，向量<math>(a, b, c)</math>就是其法线。

如果S是曲线坐标x(s, t)表示的曲面，其中s及t是实数变量，那么用偏导数叉积表示的法线为

<math>{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}</math>。

如果曲面S用隐函数表示，点集合<math>(x, y, z)</math>满足<math>F(x, y, z)=0</math>，那么在点<math>(x, y, z)</math>处的曲面法线用梯度表示为

<math>\nabla F(x, y, z)</math>。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

法线的唯一性

File:Surface normals.svg

曲面（surface）上的法线向量场（vector field of normals）

曲面法线的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界（topological boundary）内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法（unique way）。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。

法线的变换

变换矩阵可以用来变换多边形，也可以变换多边形表面的切向量（tangent vector）。 设 n′ 为 W n。我们必须发现 W。

W n 垂直（perpendicular）于 M t

<math>\iff(W n) \cdot (M t) = 0 </math>

<math>\iff (W n)^T (M t) = 0 </math>

<math>\iff (n^T W^T) (M t) = 0 </math>

<math>\iff n^T (W^T M) t = 0 </math>

很明白的选定 W s.t. <math>W^T M = I</math>, 或 <math>W = {M^{-1}}^T</math> 将可以满足上列的方程式，按需求，再以 <math>W n</math> 垂直于（perpendicular）<math>M t</math>, 或一个 n′ 垂直于 t′。

应用

• 曲面法线在定义向量场的曲面积分中有着重要应用。
• 在三维计算机图形学中通常使用曲面对应的顶点法向量进行光照计算；参见 Lambert's cosine law。