整数
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| 各种各样的数 | ||
| 基本 | ||
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| 延伸 | ||
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圆周率 Template:计算结果… | ||
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整数（Template:Langx）在电脑应用上也称为整型，是集合<math>\{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}</math>中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数集合一样，整数集合也是一个可数的无限集合。整数集合通常写作粗体的<math>\mathbf{Z}</math>或<math>\mathbb{Z}</math>（源于德语单词Zahlen，意为“数”）。
在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。
正整数与负整数[编辑]
package.lua第80行Lua错误：module 'Module:Format link' not found 整数是一个集合，通常可以分为正整数、零（0）和负整数。正整数（符号：Z+或<math>\mathbb{Z}^{+}</math>）即大于0的整数，是正数与整数的交集。而负整数（符号：Z-或<math>\mathbb{Z}^{-}</math>）即小于0的整数，是负数与整数的交集。和整数一样，两者都是可数的无限集合。除正整数和负整数外，通常将0与正整数统称为非负整数（符号：Z+0或<math>\mathbb{Z}^{+}_{0}</math>），而将0与负整数统称为非正整数（符号：Z-0或<math>\mathbb{Z}^{-}_{0}</math>）。在数论中自然数<math>\mathbb{N}</math>通常被视为与正整数等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。
代数性质[编辑]
下表给出任何整数<math>a, b, c</math>的加法和乘法的基本性质。
| 性质 | 加法 | 乘法 |
|---|---|---|
| 封闭性 | <math>a + b</math>是整数 | <math>a \times b</math>是整数 |
| 结合律 | <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math> | <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math> |
| 交换律 | <math>a + b = b + a</math> | <math>a \times b = b \times a</math> |
| 存在单位元 | <math>a + 0 = a</math> | <math>a \times 1 = a</math> |
| 存在逆元 | <math>a + (-a) = 0</math> | 在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数<math>a</math>关于乘法的逆元为<math>\frac{1}{a}</math>，都不为整数。 |
| 分配律 | <math>a \times (b + c) = a \times b + a \times c</math> | |
全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。
<math>\mathbb{Z}</math>是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是<math>\mathbb{Z}</math>仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与<math>(\mathbb{Z},+)</math>同构。
有序性质[编辑]
<math>\mathbb{Z}</math>是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：
- <math>\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots</math>
一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。
整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：
- 若<math>a < b</math>且<math>c < d</math>，则<math>a + c < b + d</math>（加法）
- 若<math>a < b</math>且<math>c > 0</math>，则<math>a \times c < b \times c</math>；若<math>c < 0</math>，则<math>a \times c > b \times c</math>（乘法）
整数环是一个欧几里德域。
电脑[编辑]
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整数集合的基数[编辑]
<math>\mathbb{Z}</math>的基数（或势）是ℵ0，与<math>\mathbb{N}</math>相同。这可以从<math>\mathbb{Z}</math>建立一双射函数到<math>\mathbb{N}</math>来证明，亦即该函数要同时满足单射及满射的条件，例如：
- <math>f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}</math>
当该函数的定义域仅限于<math>\mathbb{Z}</math>，则证明<math>\mathbb{Z}</math>与<math>\mathbb{N}</math>可建立一一对应的关系，即两集等势。
参见[编辑]
Template:有理数 package.lua第80行Lua错误：module 'Module:Navbar/configuration' not found Template:数的系统 package.lua第80行Lua错误：module 'Module:Authority control/config' not found