球 (数学)

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一个球

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在欧氏空间里，球是指球面的内部。

球（英语：ball）在数学里，是指球面内部的空间。球可以是封闭的（包含球面的边界点，称为闭球），也可以是开放的（不包含边界点，称为开球）。

球的概念不只存在于三维欧氏空间里，亦存在于较低或较高维度，以及一般度量空间里。<math>n\,\!</math>维空间里的球称为<math>n\,\!</math>维球，且包含于<math>n-1\,\!</math>维球面内。因此，在欧氏平面里，球为一圆盘，包含在圆内。在三维空间里，球则是指在二维球面边界内的空间。

欧氏空间里的球

在 <math>n\,\!</math> 维欧氏空间里，一个中心为 <math>x\,\!</math> ，半径为 <math>r\,\!</math> 的 <math>n\,\!</math> 维（开）球是个由所有距 <math>x\,\!</math> 的距离小于 <math>r\,\!</math> 的点所组成之集合。一个中心为 <math>x\,\!</math>，半径为 <math>r\,\!</math> 的 <math>n\,\!</math> 维闭球是个由所有距 <math>x\,\!</math> 的距离小于等于 <math>r\,\!</math> 的点所组成之集合。

在 <math>n\,\!</math> 维欧氏空间里，每个球都是某个超球面内部的空间。在一维时，球是个有界的区间；在二维时，是某个圆的内部（圆盘）；而在三维时，则是某个球面的内部。

体积

主条目：n维球的体积

在 <math>n\,\!</math> 维欧氏空间里，半径 <math>R\,\!</math> 的球之 <math>n\,\!</math> 维体积为：

<math>V_n(R) = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}R^n,</math>

其中，<math>\Gamma</math>是李昂哈德·欧拉的Γ函数（可被视为阶乘在实数的延伸）。使用Γ函数在整数与半整数时的公式，可不需要估算<math>\Gamma</math>函数即可计算出球的体积：

<math>V_{2k}(R) = \frac{\pi^k}{k!}R^{2k},</math>

<math>V_{2k+1}(R) = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}R^{2k+1} = \frac{2(k!)(4\pi)^k}{(2k+1)!}R^{2k+1}.</math>

在奇数维度时的体积公式里，对每个奇数<math>2k+1\,\!</math>，双阶乘 <math>(2k+1)!!</math> 定义为 <math>(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1) \cdot (2k+1)</math>。

一般度量空间里的球

令 <math>(M,d)</math>为一度量空间，即具有度量（距离函数）<math>d</math> 的集合 <math>M</math>。中心为 <math>M</math> 内的点 <math>p</math>，半径为 <math>r>0</math> 的开球，通常标计为 <math>B_r(p)</math> 或 <math>B(p; r)</math>，定义为

<math>B_r(p) = \{ x \in M \mid d(x,p) < r \},</math>

其闭球，可标计为 <math>B_r[p]</math> 或 <math>B[p; r]</math>，则定义为

<math>B_r[p] = \{ x \in M \mid d(x,p) \le r \}.</math>

请特别注意，一个球（无论开放或封闭）总会包含点 <math>p</math>，因为依定义， <math>r>0</math>。

开球的闭包通常标记为 <math>\overline{ B_r(p) }</math>。虽然 <math>B_r(p) \subseteq \overline{ B_r(p) }</math> 与 <math>\overline{ B_r(p) } \subseteq B_r[p]</math> 总是成立的，但 <math>\overline{ B_r(p) } = B_r[p]</math> 则不一定总是为真。举例来说，在一个具离散度量的度量空间 X 里，对每个 X 内的 p 而言，<math>\overline{B_1(p)} = \{p\}</math>，但 <math>B_1[p] = X</math>。

一个（开或闭）单位球为一半径为 1 的球。

度量空间的子集是有界的，若该子集包含于某个球内。一个集合是全有界的，若给定一正值半径，该集合可被有限多个具该半径的球所覆盖。

度量空间里的开球为拓扑空间里的基，其中所有的开集合均为某些（有限或无限个）开球的联集。该拓扑空间被称为由度量 d 导出之拓扑。

赋范向量空间里的球

每个具范数 |·| 的赋范向量空间亦为一度量空间，其中度量 <math>d(x,y) =|x-y|</math>。在此类空间里，每个球 <math>B_r(p)</math> 均可视为是单位球 <math>B_1(0)</math> 平移 <math>p</math>，再缩放 <math>r</math> 后所得之集合。

前面讨论的欧氏空间里的球亦为赋范向量空间里球的一例。

p-范数

在具 p-范数 <math>L_p</math> 的笛卡尔空间 <math>\R^n</math> 里，开球是指集合

<math>B(r) = \left\{ x \in \R^n \,:\, \sum_{i=1}^n \left|x_i\right|^p < r^p \right\}.</math>

在二维（<math>n=2</math>）时，<math>L_1</math>（通常称为曼哈顿度量）的球是对角线平行于坐标轴的正方形；而 <math>L_\infty</math>（切比雪夫度量）的球则是个边平行于坐标轴的正方形。对于 <math>p</math> 的其他值，该球则会是超椭圆的内部。

在三维（<math>n=3</math>）时，<math>L_1</math> 的球是个对角线平行为坐标轴的八面体，而 <math>L_\infty</math> 的球则是个边平行为坐标轴的正立方体。对于 <math>p</math> 的其他值，该球则会是超椭球的内部。

一般凸范数

更一般性地，给定任一 <math>R^n</math> 内中心对称、有界、开放且凸的集合 <math>X</math>，均可定义一个在 <math>R^n</math> 的范数，该球均为 <math>X</math> 平移再一致缩放后所得之集合。须注意，若将此定理内的“开”子集以“闭”子集替代，则定理不能成立，因为原点也符合定理内所定之集合，但无法定义 <math>R^n</math> 内的范数。

拓扑空间里的球

在拓扑学的文献里，“球”可能有两种含义，由上下文决定。

开集

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“<math>p</math> 点周围的一个球”代表包含 <math>p</math> 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：<math>p</math> 的一个邻域是任何包含一个 <math>p</math> 的开集的集合，因此通常不是开集。

拓扑球

<math>X</math> 内的 <math>n</math> 维（开或闭）拓扑球是指 <math>X</math> 内同胚于 <math>n</math> 维（开或闭）欧几里得球的任一子集，该子集不一定需要由某个度量导出。<math>n</math> 维拓扑球在组合拓扑学里很重要，为建构胞腔复形的基础。

任一 <math>n</math> 维开拓扑球均同胚于笛卡尔空间 <math>\mathrm{R}^n</math> 及 <math>n</math> 维开单位超方形 <math>(0,1)^n \subseteq \R^n</math>。任一 <math>n</math> 维闭拓扑球均同胚于 <math>n</math> 维闭超方形 <math>[0,1]^n</math>。

<math>n</math> 维球同胚于 <math>m</math> 维球，当且仅当 <math>n=m</math>。<math>n</math> 维开球 <math>B</math> 与 <math>\mathrm{R}^n</math> 间的同胚可分成两种类型，以 <math>B</math> 的两种可能之拓扑定向来区分。

一个 <math>n</math> 维拓扑球不一定是光滑的；若该球是光滑的，亦不一定需微分同胚于一 <math>n</math> 维欧几里得球。

另见

• 球 - 一般常见的意义
• 圆盘
• 形式球，将球的半径延伸至负值。
• 邻域
• 三维球面
• n维球面（超球面）
• 亚历山大带角球
• 流形
• n维球的体积
• 正八面体，<math>\ell_1</math> 度量下的三维球
• 球壳
• 椭球
• 球缺
• 半球

参考文献

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]