范数
范数（英语：Norm），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（英语：seminorm）可以为非零的向量赋予零长度。
举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间 <math>\R^2</math> 就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：<math>(3, 7)</math>）常常在笛卡尔坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。
拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。
定义[编辑]
假设 <math>V</math> 是域 <math>\mathbb{F}</math> 上的向量空间；<math>V</math> 的半范数是一个函数 <math>p:V\to\mathbb{R}; x\mapsto{}p(x)</math>，满足：
<math>\forall a \in \mathbb{F}, \forall u,v \in V</math>,
- <math>p(v) \ge 0 </math>（具有半正定性）
- <math>p(a v) = |a| p(v)</math>（具有绝对一次齐次性）
- <math>p(u + v) \le p(u) + p(v)</math>（满足三角不等式，或称次可加性）
范数是一个半范数加上额外性质：
如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出，这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。
例子[编辑]
- 所有范数都是半范数。
- 平凡半范数，即 <math>p(x) = 0, \forall x \in V</math>。
- 绝对值是实数集上的一个范数。
- 对向量空间上的次线性型 <math>f</math> 可定义一个半范数：<math>\boldsymbol x \to |f(\boldsymbol x)|</math>。
绝对值范数[编辑]
绝对值范数为
- <math>\|\boldsymbol{x}\|=\sum_i^n|x_i|</math>
是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。
绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。
欧几里得范数[编辑]
在 <math>n</math> 维欧几里得空间 <math>\mathbb R ^n</math> 上，向量 <math>\boldsymbol x = (x_1,x_2,\,\ldots\,,x_n)^{\mathrm T}</math> 的最符合直觉的长度由以下公式给出
- <math>\|\boldsymbol{x}\|_2 := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math>
根据勾股定理，它给出了从原点到点 <math>\boldsymbol x</math> 之间的（通常意义下的）距离。欧几里得范数是 <math>\mathbb R ^n</math> 上最常用的范数，但正如下面举出的，<math>\mathbb R ^n</math> 上也可以定义其他的范数。然而，以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构，因此它们在某种意义上都是等价的。
在一个 <math>n</math> 维复数空间 <math>\mathbb C ^n</math> 中，最常见的范数是：
- <math>\|\boldsymbol{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}= \sqrt{z_1 \bar z_1 + \cdots + z_n \bar z_n}.</math>
- <math>\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x}^* \boldsymbol{x}},</math>
其中 <math>\boldsymbol{x}</math> 是一个列向量（<math>[x_1,x_2,\,\ldots\,,x_n]^{\mathrm T}</math>），而 <math>\boldsymbol x ^ *</math> 表示其共轭转置。
以上公式适用于任何内积空间，包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里，内积等价于点积，因此公式可以写成以下形式：
- <math>\|\boldsymbol{x}\| := \sqrt{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x}}.</math>
特别地，<math>\mathbb R ^{n+1}</math> 中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个 n 维球面。
复数的欧几里得范数[编辑]
如果将复平面看作欧几里得平面 <math>\mathbb R ^2</math>，那么复数的欧几里得范数是其绝对值（又称为模）。这样，我们可把 <math>x+i\,y</math> 视为欧几里得平面上的一个向量(称等距同构)，由此，这个向量的欧几里得范数即为 <math>\sqrt{x^2 +y^2}</math>（最初由欧拉提出）。
参见[编辑]
参考文献[编辑]
- Bourbaki, Nicolas. Chapters 1–5. Topological vector spaces. Springer. 1987. ISBN 3-540-13627-4.
- Prugovečki, Eduard. Quantum mechanics in Hilbert space 2nd. Academic Press. 1981: 20. ISBN 0-12-566060-X.
- Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic Press, Inc. 1995: 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433. ISBN 0-486-45352-9.
- Khaleelulla, S. M. Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Springer-Verlag. 1982: 3–5. ISBN 978-3-540-11565-6. Zbl 0482.46002.