开集
在数学上，特别是拓朴学中，开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合。
通常微积分的课程中，会借助欧式空间的距离去描述数列极限；直观上，当 <math>n</math> 越来越大时，数列 <math>x_n</math> 跟 <math>a</math> 极其靠近，则称 <math>a</math> 是数列 <math>x_n</math> 的极限，但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”，开集就是来自于“ <math>a</math> 点附近”这样的直观概念。类似的，函数极限也需要距离的概念去严谨定义。
定义[编辑]
直观上，于“开集”或说“不含边界的集合”中任取一点，都可以找到一个以此点为圆心，且半径足够小到落在“开集”里的圆盘（但圆盘的边界可能不在开集内）。开集的严谨定义由此而来。
欧式空间[编辑]
所谓的<math>n</math>维欧式空间，指的是囊括所有实数n-元组<math>(r_1,\,\dots,\,r_n)</math>的集合（记为<math>\R^n</math>）。 为了定义开集，可以推广勾股定理，将 <math>\R^n</math> 中任两点<math>x = (x_1,\,\dots,\,x_n)</math> 与 <math>y = (y_1,\,\dots,\,y_n)</math> 的欧式距离定义为：
- <math>d_n(x,\,y)=\sqrt{
\sum^n_{i=1} {(x_i-y_i)}^2
}</math>
然后定义所谓的（<math>n</math>维）开球（open ball）：
- <math>B(a,\,r)
- =
\bigg\{ p \in \R ^n \,\bigg|\, d_n(a,\,p) < r \bigg\}</math>
也就是直观上，一个以<math>a</math>为球心，<math>r</math>为半径但不包含表面的球体。
这样就可以作如下的定义：
定义 —
若 <math>O \subseteq \R^n</math> ，且对所有 <math>p \in O</math> ，存在一个 <math>r > 0</math> ，使<math>B(p,\,r) \subseteq O</math>，那么就说子集<math>O</math>是 <math>\R^n</math>中的一个开集。
也就是直观上，取开集 <math>O</math> 的任意点 <math>x</math> 都有一个以 <math>x</math> 为球心的开球完全包含于 <math>O</math> 。
赋距空间[编辑]
只要把上节的欧式距离改成一般的度量，开集的概念很容易推广到赋距空间<math>(M,d)</math>中。
以下把<math>(M,d)</math> 中的开球（open ball）定义成：
- <math>B(a,\,\delta)
- =
\bigg\{ p \in M \,\bigg|\, d(a,\,p) < \delta \bigg\}</math>
这样就可以作如下的定义：
定义 —
<math>U</math> 是 <math>M</math> 的子集，且对所有 <math>p \in U</math>，存在 <math>\delta > 0</math> 使<math>B(a,\,\delta) \subseteq U</math> ，则称 <math>U</math> 是 <math>M</math> 的一个开集。
这的确推广了欧式空间部分的定义，因为欧式距离 <math>d_n</math> 和<math>\R^n</math>本身就组成了一个赋距空间<math>(\R^n,d_n)</math>。
赋距空间的开集还会有以下的性质：
定理 —
若 <math>(M,d)</math> 为赋距空间，则
(1) <math>\varnothing</math> 和 <math>M</math> 也是 <math>M</math> 的开集。
(2) 若 <math>A</math> 和 <math>B</math> 都是 <math>M</math> 的开集，则 <math>A \cap B</math> 也是 <math>M</math> 的开集。
(3) <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(M)</math> （ <math>\mathcal{F}</math> 是 <math>M</math> 的一个子集族），若所有 <math>O \in \mathcal{F}</math> 都是 <math>M</math> 的开集，则 <math>\bigcup \mathcal{F}</math> 也是 <math>M</math> 的开集。（也就是直观上，任意数量开集的并集也是开集）
| 证明 |
|---|
| (1) 对每个<math>p \in M</math>都有<math>B(p,\,1) \subseteq M</math>，所以<math>M</math>是自己的一个开集；另外对所有<math>p \in M</math>都有<math>p \notin \varnothing</math>（直观上来说没有点可以当开球的球心），所以逻辑上不用验证是否有开球包含于<math>\varnothing</math>，就可以得到<math>\varnothing</math>满足开集的定义 （直观上来说，前提为假的话，不论结论是否为真，“前提=>结论”都是对的）。<math>\Box</math>
|
事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。
拓扑空间[编辑]
开集是拓扑空间定义的基石；也就是从任意母集合 <math>X</math> 出发，再选取 <math>X</math> 的特定的子集族 <math>\tau</math> ，规定 <math>\tau</math> 中的集合就是开集，这样的子集族 <math>\tau</math> 被叫做 <math>X</math> 上的拓扑：
定义 —
<math>X</math> 为集合，若 <math>\tau \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 满足
(1) <math>\varnothing,\, X \in \tau</math>
(2) 若 <math>A, B \in \tau</math> 则 <math>A \cap B \in \tau</math>。
(3) <math>\mathcal{F} \subseteq \tau</math> ，则 <math>\bigcup_{F\in\mathcal{F
F \in \tau</math> 。（也就是说，任意数量开集的并集也是开集）
则称 <math>\tau</math> 为 <math>X</math> 上的拓扑，并称 <math>(X,\,\tau)</math> 为一拓扑空间。任何 <math>O \in \tau</math> 被称为开集。 }}
根据上一节赋距空间的性质，取 <math>\tau_d</math> 为所有 <math>M</math> 的开集所构成的子集族，则 <math>(M,\,\tau_d)</math> 也是一拓扑空间。
例子[编辑]
- 度量空间<math>(X,d)</math>中，以点<math>x\in X</math>为中心，<math>\varepsilon</math>为半径的球体<math>B(x,\varepsilon)</math>为开集，任意的开集<math>A</math>包含以<math>x\in A</math>为中心，充分小的<math>\varepsilon</math>为半径的球体<math>B(x,\varepsilon)</math>。
- 流形中的开集为子流形。
用处[编辑]
开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此类概念，比如度量空间和一致空间）时，都会用到开集的概念。
拓扑空间<math>X</math>的每个子集<math>A</math>都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做<math>A</math>的内部。它可以通过取包含在<math>A</math>中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间<math>X</math>和<math>Y</math>以及函数<math>f:X \rightarrow Y</math>，如果在<math>Y</math>中的所有开集的前像是在<math>X</math>中的开集，则<math>f</math>是连续的，这是实函数上的连续定义的推广，<math>X=Y=\R</math>时这与实函数的连续定义等价。如果在<math>X</math>中的所有开集的像是<math>Y</math>中的开集，映射<math>f</math>被叫做开映射。
实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。