同胚
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在拓扑学中，同胚（英语：Homeomorphism）是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。
拓扑空间是一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因此，正方形和圆是同胚的，但球面和环面就不是。有一个笑话是说，拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈，这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状（见图）。
定义[编辑]
如果两个拓扑空间 <math>(X,\tau_X)</math> 和 <math>(X,\tau_Y)</math> 之间的函数 <math>f: X\to Y</math> 具有下列性质：
- <math>f</math> 是双射（单射和满射）；
- <math>f</math> 是连续的；
- 其反函数 <math>f^{-1}</math> 也是连续的（蕴含 <math>f</math> 是开映射）。
则称 <math>(X,\tau_X)</math> 和 <math>(Y,\tau_Y)</math> 同胚，它满足以上三个性质的函数有时称为双连续。自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚；由自同胚和复合运算所组成的群称为同胚群。同胚形成了所有拓扑空间的类上的等价关系。所得到的等价类称为同胚类。
例子[编辑]
- <math>\mathbb{R}^2</math> 内的单位圆盘 <math>D^2</math> 和单位正方形是同胚的。
- 开区间 <math>(0,1)</math> 与实直线 <math>\mathbb{R}</math> 同胚。
- 一维球面的积空间 <math>S^1\times S^1</math> 与二维环面同胚。
- 每一个一致同构和等距同构都是同胚。
- 任何二维球面去掉一个点都与 <math>\mathbb{R}^2</math> 中的所有点所组成的集合（二维平面）同胚。
- 设 <math>A</math> 为一个有单位的交换环，并设 <math>S</math> 为 <math>A</math> 的乘法子集。那么Spec <math>(A_S)</math>与<math> \{ p \in \textrm{Spec } A : p \cap S = \emptyset \} </math>同胚。
- 当 <math>n\neq m</math> 时，<math>\mathbb{R}^{n}</math> 不与 <math>\mathbb{R}^{m}</math> 同胚。
- 一个连续和双射但不是同胚的函数的例子，是把半开区间 <math>[0,1)</math> 缠绕到圆上的映射。在这个情况中，逆映射虽然存在，但不是连续的。
性质[编辑]
- 同胚是拓扑空间范畴中的同构。因此，两个同胚的复合映射也是同胚，且所有自同胚 <math>\{f:X\to X|f \text{ 是同构}\}</math> 形成了一个群，称为X的自同胚群，通常记为 <math>\operatorname{Homeo}(X)</math>。
- 两个同胚的空间具有相同的拓扑性质。例如，如果其中一个是紧空间，那么另外一个也是紧空间；如果其中一个是连通空间，那么另外一个也是连通空间，等等。然而，这不能推广到通过度量所定义的性质；如果两个度量空间是同胚的，那么仍然有可能其中一个是完备的，而另外一个不是。
- 同胚既是开映射又是闭映射，也就是说，它把开集映射到开集，把闭集映射到闭集。
- 每一个 <math>S^1</math> 的自同胚都可以延伸到整个圆盘 <math>D^2</math> 的自同胚。