邻域
在集合论中，邻域（英语：Neighbourhood）指以点<math>a</math>为中心的任何开区间，记作：<math>U(a)</math>。
在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，并且该性质是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。
定义[编辑]
在集合论中，有以下几种邻域：
- <math>\delta</math>邻域：<math>U(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta)=\left\{x \mid |x-a|<\delta\right\}</math>
- 去心邻域：<math>U_{0}(a,\delta)=\left\{x \mid 0<|x-a|<\delta\right\}</math>
- 左邻域：<math>(a-\delta,a)</math>
- 右邻域：<math>(a,a+\delta)</math>
在拓扑学中，拓扑空间<math>X</math>，<math>A</math>，<math>B\subseteq X</math>，称<math>B</math>是<math>A</math>的邻域，当且仅当以下条件之一成立：
- 存在开集<math>C</math>，使得<math>A\subseteq C\subseteq B</math>。
- <math>A\subseteq B^O </math>。（<math>B^O</math>是<math>B</math>的内部）
- 开邻域，闭邻域
- 若<math>B</math>是开集，则<math>B</math>称为<math>A</math>的开邻域；若<math>B</math>是闭集，则<math>B</math>称为<math>A</math>的闭邻域。
- 邻域系统
- 设<math>x\in X</math>，则<math>\{ x \}</math>所有邻域的集合<math>U(x)</math>，称为<math>x</math>（或<math>\{ x \}</math>）的邻域系。
注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。
如果<math>S</math>是<math>X</math>的子集，<math>S</math>的邻域是集合<math>V</math>，它包含了包含<math>S</math>的开集<math>U</math>。可得出集合<math>V</math>是<math>S</math>的邻域，当且仅当它是在<math>S</math>中的所有点的邻域。
邻域的度量空间定义[编辑]
在度量空间<math>M=(X,d)</math>中，集合<math>V</math>是点<math>p</math>的邻域，如果存在以<math>p</math>为中心和半径为<math>r</math>的开球，
- <math>B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}</math>
它被包含在<math>V</math>中。
一致邻域[编辑]
<math>V</math>叫做集合<math>S</math>的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数<math>r</math>使得对于<math>S</math>的所有元素<math>p</math>，
- <math>B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}</math>
被包含在<math>V</math>中。
对于<math>r>0</math>集合<math>S</math>的<math>r</math>-邻域<math>S_r</math>是<math>X</math>中与<math>S</math>的距离小于<math>r</math>的所有点的集合（或等价的说<math>S_r</math>是以<math>S</math>中一个点为中心半径为<math>r</math>的所有开球的并集）。
可直接得出<math>r</math>-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个<math>r</math>值的<math>r</math>-邻域。
参见一致空间。
非一致邻域的例子[编辑]
给定实数集<math>\R</math>带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集<math>V</math>
- <math>V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,\frac{1}{n}\right)</math>，
则<math>V</math>是自然数集合<math>N</math>的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因为<math>r=\frac{1}{n}</math>并不是一个固定值。
去心邻域[编辑]
点 <math>p</math> 的去心邻域（英语：deleted neighborhood 或 punctured neighborhood）是点 <math>p</math> 的邻域中减去 <math>\{p\}</math> 后得到的差集。例如，区间 <math>(-1, 1) = \{y: -1 < y < 1\}</math> 是 <math>p = 0</math> 在实数轴上的邻域，因此集合 <math>(-1, 0)\cup(0, 1) = (-1, 1) \setminus \{0\}</math> 是 <math>p = 0</math> 的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。
基于邻域的拓扑[编辑]
上述定义适用于开集的概念早已定义的情况。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一个邻域被包含于集中，则为开集。
在<math>X</math>上的邻域系统是滤子<math>N(x)</math>（在集合<math>X</math>上）到每个<math>X</math>中的<math>x</math>的指派，使得
- 点<math>x</math>是每个<math>N(x)</math>中的<math>U</math>的元素，
- 每个<math>N(x)</math>中的<math>U</math>包含某个<math>N(x)</math>中的<math>V</math>使得对于每个<math>V</math>中的<math>y</math>有着<math>U</math>在<math>N(y)</math>中。
可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。
引用[编辑]
- Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.
- Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.
- Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.