双射

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一个双射函数

数学中，一个由集合<math>X</math>映射至集合<math>Y</math>的函数，若对每一在<math>Y</math>内的<math>y</math>，存在唯一一个在<math>X</math>内的<math>x</math>与其对应，且对每一在<math>X</math>内的<math>x</math>，存在唯一一个在<math>Y</math>内的<math>y</math>与其对应，则此函数为双射函数。

换句话说，如果其为两集合间的一一对应，则<math>f</math>是双射的。即，同时为单射和满射。

例如，由整数集合<math>\Z</math>至<math>\Z</math>的函数<math>\operatorname{succ}</math>，其将每一个整数<math>x</math>连结至整数<math>\operatorname{succ}(x)=x+1</math>，这是一个双射函数；再看一个例子，函数<math>\operatorname{sumdif}</math>，其将每一对实数<math>(x,y)</math>连结至<math>\operatorname{sumdif}(x,y) = (x + y, x - y)</math>，这也是个双射函数。

一双射函数亦简称为双射（英语：bijection）或置换。后者一般较常使用在<math>X=Y</math>时。以由<math>X</math>至<math>Y</math>的所有双射组成的集合标记为<math>X \leftrightarrow Y </math>。

双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构的定义（以及如同胚和微分同构等相关概念）、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。

复合函数与反函数

一函数<math>f</math>为双射的当且仅当其逆关系<math>f^{-1}</math>也是个函数。在这情况，<math>f^{-1}</math>也会是双射函数。

两个双射函数<math>f: X \leftrightarrow Y</math>及<math>g : Y \leftrightarrow Z</math>的复合函数<math>g\circ f</math>亦为双射函数。其反函数为<math>(g\circ f)^{-1} = (f^{-1})\circ (g^{-1})</math>。

File:Bijective composition.svg

一个复合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若<math>g\circ f</math>为双射的，可知<math>f</math>是单射的且<math>g</math>是满射的，但也仅限于此。

一由<math>X</math>至<math>Y</math>的关系<math>f</math>为双射函数当且仅当存在另一由<math>Y</math>至<math>X</math>的关系<math>g</math>，使得<math>g\circ f</math>为<math>X</math>上的恒等函数，且<math>f\circ g</math>为<math>Y</math>上的恒等函数。必然地，此两个集合会有相同的势。

双射与势

若<math>X</math>和<math>Y</math>为有限集合，则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。

例子与反例

• 对任一集合<math>X</math>，其恒等函数为双射函数。
• 函数<math>f : \R\rightarrow\R</math>，其形式为<math>f(x) = 2x + 1</math>，是双射的，因为对任一<math>y</math>，存在一唯一<math>x = (y - 1)/2</math>使得<math>f(x) = y</math>。
• 指数函数<math>g : \R \rightarrow\R</math>，其形式为<math>g(x) = e^{x}</math>，不是双射的：因为不存在一<math>\R</math>内的<math>x</math>使得<math>g(x) = -1</math>，故<math>g</math>非为双射。但若其陪域改成正实数<math>\R^{+} = (0,+\infty )</math>，则<math>g</math>便是双射的了；其反函数为自然对数函数<math>\ln</math>。
• 函数<math>h</math> : <math>\R \rightarrow [0,+\infty )</math>，其形式为<math>h(x) = x^2</math>，不是双射的：因为<math>h(-1) = h(1) = 1</math>，故<math>h</math>非为双射。但如果把定义域也改成<math>[0,+\infty )</math>，则<math>h</math>便是双射的了；其反函数为正平方根函数。
• <math>\R \to \R : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x </math>不是双射函数，因为<math>-1, 0</math>和<math>1</math>都在其定义域里且都映射至<math>0</math>。
• <math>\R \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)</math>不是双射函数，因为<math>\pi/3</math>和2<math>\pi/3</math>都在其定义域里且都映射至<math>\sqrt{3}/2</math>。

性质

• 一由实数<math>\mathbb{R}</math>至<math>\mathbb{R}</math>的函数<math>f</math>是双射的，当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
• 设<math>X</math>为一集合，则由<math>X</math>至其本身的双射函数，加上其复合函数“<math>\circ</math>”的运算，会形成一个群，即为<math>X</math>的对称群，其标记为<math>\mathfrak{S}(X)</math>、<math>\mathfrak{S}_{X}</math>或<math>X!</math>。
• 取一定义域的子集<math>A</math>及一陪域的子集<math>B</math>，则

<math>|f(A)| = |A|</math>且<math>|f^{-1}(B)| = |B|</math>。

• 若<math>X</math>和<math>Y</math>为具相同势的有限集合，且<math>f: X \to Y</math>，则下列三种说法是等价的：

1. <math>f</math>为一双射函数。
2. <math>f</math>为一满射函数。
3. <math>f</math>为一单射函数。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如<math>y = x^{-3}</math>）。

双射与范畴论

形式上，双射函数恰好是集合范畴内的同构。

另见

• 等势
• 单射
• 同构
• 置换
• 对称群
• 满射
• 双射计数法
• 水平线测试

参考文献

• Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998. 
• Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003. 
• Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006. 
• Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996. 
• O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003. 
• Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House. 
• Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002. 
• Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001. 
• Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005. 
• Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 1992. 
• Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan. 
• Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004. 
• D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000. 
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• Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole. 
• Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000. 
• Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 1998. 

外部链接

• Bijection, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （English） 
• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）