全集
数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则称作全集）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合的类。
在特定场合下[编辑]
这个一般概念有数个精确的版本。最简单的情况下可以将任意集合<math>U</math>定义成全集，只要研究的对象都是其子集。若研究实数，则所有实数的集合实数线<math>\mathbb{R}</math>就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以应用于实分析，这时他默认地使用着的全集就是实数线<math>\mathbb{R}</math>。康托尔一开始关心的也只是<math>\mathbb{R}</math>的子集。
这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集<math>U</math>的大长方形内进行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是<math>U</math>的子集。集合<math>A</math>的补集则为长方形中表示<math>A</math>的圆形的外面的部分。严格地说，这是<math>A</math>对<math>U</math>的相对补集'<math>U\backslash A</math>；但在<math>U</math>是全集的场合下，这可以被当成是<math>A</math>的绝对补集'<math>A^C</math>。同样的，有一个称为空交集的概念，即零个集合的交集（指没有集合，而不是空集）。要是没有全集，空交集就会是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即<math>U</math>）下的所有东西组成的集合。
在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反，<math>U</math>的幂集，即<math>U</math>的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集<math>U</math>则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。
在一般数学中[编辑]
然而，当考虑过给定集合<math>X</math>的子集（在康托尔的例子中，<math>X=\mathbb{R}</math>），可能就会进一步关心<math>X</math>的子集组成的集合。 （例如：<math>X</math>上的一个拓扑就是一个<math>X</math>的子集组成的集合。） 这些不同的<math>X</math>的子集组成的集合本身，一般而言并不是<math>X</math>的子集，却是<math>X</math>的幂集<math>\mathbf{P} X</math>的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑<math>X</math>的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考虑笛卡尔积<math>X\times X</math>，或从<math>X</math>映射到其自身的函数。接着，还可以考虑笛卡尔积上的函数，或从<math>X</math>映射到<math>X\times \mathrm{P} X</math>的函数，等等。
这样，尽管主要关心的是<math>X</math>，仍然需要一个比<math>X</math>大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要<math>X</math>上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下：
- 设<math>\mathbf{S}_0X</math>为<math>X</math>自身。
- 设<math>\mathbf{S}_1X</math>为<math>X</math>和<math>\mathbf{P} X</math>的并集。
- 设<math>\mathbf{S}_2X</math>为<math>\mathbf{S}_1X</math>和<math>\mathbf{P}(\mathbf{S}_1X)</math>的并集。
- 一般的，设<math>\mathbf{S}_{n+1}X</math>为<math>\mathbf{S}_nX</math>和<math>\mathbf{P}(S_nX)</math>的并集。则<math>X</math>上的超结构，写作<math>\mathbf{S}X</math>，为<math>\mathbf{S}_0X</math>，<math>\mathbf{S}_1X</math>，<math>\mathbf{S}_2X</math>，等等，的并集；或
- <math> \mathbf{S}X := \bigcup_{i=0}^{\infty} \mathbf{S}_{i}X \mbox{.} \! </math>
注意到，无论初始集合<math>X</math>如何，空集总是属于<math>\mathbf{S}_1X</math>。重定义空集为冯·诺伊曼序数<math>[0]</math>。则<math>\{[0]\}</math>，是仅含有空集为元素的集合，属于<math>\mathbf{S}_2X</math>；定义为冯·诺伊曼序数<math>[1]</math>。类似的，<math>\{[1]\}</math>属于<math>\mathbf{S}_3X</math>，则<math>\{[0]\}</math>和<math>\{[1]\}</math>的并集<math>\{[0],[1]\}</math>也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数<math>[2]</math>。重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若<math>x</math>和<math>y</math>属于这个超结构，则<math>\{\{x\},\{x,y\}\}</math>（这个集合表示了有序对<math>(x,y)</math>）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序 n元组，表示定义域为冯·诺伊曼序数<math>[n]</math>的函数。等等。
所以，就算仅从<math>X=\{\}</math>出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构里的某个元素。但是，这样<math>\mathbf{S}\{\}</math>的每个元素都会是有限集合。每个自然数都属于<math>\mathbf{S}\{\}</math>，但“所有”自然数的集合<math>\mathbb{N}</math>不属于<math>\mathbf{S}\{\}</math>（尽管它是<math>\mathbf{S}\{\}</math>的“子集”）。实际上，<math>X</math>上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话；他会相信每个自然数都存在，而集合<math>\mathbb{N}</math>（一个"完全的无穷大"）则不然。
然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说，<math>\mathbf{S}\{\}</math>是不足够的，因为尽管<math>\mathbb{N}</math>是<math>\mathbf{S}\{\}</math>的子集，但<math>\mathbb{N}</math>的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造<math>\mathbf{S}(\mathbf{S}\{\})</math>。不过，为简单起见，就只用给出的自然数集合<math>\mathbb{N}</math>来构造<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>，即<math>\mathbb{N}</math>上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有数学对象，都已作为这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通过戴德金分割）都会属于<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>。即使是非标准分析，也能够在自然数的一个非标准模型上的超结构中进行。
应当注意，这个部分在观念上有些改变，这里全集是任何被关心的集合<math>U</math>。上个部分中，被研究的集合是全集的子集；而现在，它们是全集的元素。这样尽管<math>\mathbf{P}(\mathbf{S}X)</math>是一个布尔格，但相应的<math>\mathbf{S}X</math>不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格<math>\mathbf{P}A</math>，这里<math>A</math>是<math>\mathbf{S}X</math>中任意相应的集合；则<math>\mathbf{P}A</math>是<math>\mathbf{S}X</math>的子集（实际上它属于<math>\mathbf{S}X</math>）。
在集合论中[编辑]
正式来说，可以给出一个精确定义，来说明为何<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>为一般数学的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！ 最后一步，构造<math>\mathbf{S}</math>成为一个无限并集，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以，尽管一般数学可以在<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>中进行，对<math>\mathbf{S}\mathbb{N}</math>的讨论则不再"一般"，而是转向元数学的领域。
但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到<math>X=\{\}</math>（空集），并用（标准的）符号<math>V_i</math>表示<math>\mathbf{S}_ i\{\}</math>。则有<math>V_0=\{\}</math>，<math>V_1=\mathbf{P}\{\}</math>，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项：<math>V_\omega</math>，这里<math>\omega</math>为第一个无穷序数。按照序数知识，得到：
- <math> V_{i} := \bigcup_{j<i} \mathbf{P}V_j \! </math>
可以对任意序数<math>i</math>定义<math>V_i</math>。所有<math>V_i</math>的并集为冯·诺伊曼全集<math>V</math>：
- <math> V := \bigcup_{i} V_{i} \! </math>。注意，每个单独的<math>V_i</math>都是集合，但他们的并集<math>V</math>是一个真类。跟代换公理差不多时候加入ZF系统的正则公理断言，每个集合都属于<math>V</math>。
参见[编辑]
参考书目[编辑]
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.