超积

数学上，超积（英语：ultraproduct）是常见于抽象代数和数理逻辑（尤其模型论和集合论）的构造。超积是一族无穷多个结构之直积的商结构，不过要求该族结构具有相同的表征。超幂（英语：ultrapower）则是超积中各因子为同一个结构的特殊情况。

举例，给定一个域，可以用超幂构造出新的域。超实数域便是实数域的超幂之一。

超积有一些出奇的应用。用超积，可以写出紧致性定理与完备性定理的优雅证明。开斯勒的超幂定理，从代数角度刻划了“初等等价”此种语义概念。亚伯拉罕·鲁滨逊和埃利亚斯·扎孔（Elias Zakon）用超结构及其单同态的表示来构造分析的非标准模型，使非标准分析理论得以发展。鲁滨逊正是用紧致性定理开拓此分支。

定义

超积的一般定义中，先选定指标集<math>I</math>、对应每个下标<math>i \in I</math>的结构<math>\mathcal M_i</math>（具相同的表征），以及<math>I</math>上的超滤子<math>\mathcal U</math>。通常仅考虑<math>I</math>为无穷集，且<math>\mathcal U</math>不为主超滤子的情况，即<math>\mathcal U</math>的元素有齐<math>I</math>的全部余有限子集，但无任何有限子集。原因是，在主超滤子的情况下，所得的超积只会与其中一个因子同构，并无新的性质。

笛卡儿积

<math>\prod_{i \in I} \mathcal M_i </math>

上的代数运算，是逐点计。例如，对于二元运算<math>+</math>，<math>(\boldsymbol a + \boldsymbol b)_i = a_i + b_i</math>。然后，在笛氏积上，定义等价关系<math>\sim</math>，使<math>\boldsymbol a \sim \boldsymbol b</math>当且仅当

<math>\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\}\in \mathcal U</math>

（应当理解为“<math>\boldsymbol a</math>与<math>\boldsymbol b</math>在大多数位置相等”）。

最后，所得的超积，是模<math>\sim</math>的商集。所以，该超积有时记为

<math>\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U . </math>

另一种看法是，在指标集<math>I</math>上，定义一个有限可加的测度<math>m</math>（弱于一般可数可加的条件），仅取<math>0, 1</math>二值，若<math>A \in \mathcal U</math>则称<math>m(A) = 1</math>，否则称<math>m(A) = 0</math>。然后在笛氏积中，两个元素若在几乎每个下标处皆相等，则视为等同。超积是如此生成的等价类的集合。

其他关系同理可作引申：

<math>R([\boldsymbol a^1],\ldots,[\boldsymbol a^n]) \iff \left\{ i \in I: R^{\mathcal M_i}(a^1_i,\ldots,a^n_i) \right\}\in \mathcal U,</math>

其中<math>[\boldsymbol a]</math>表示<math>\boldsymbol a</math>模<math>\sim</math>所属的等价类。

特别地，若每个<math>\mathcal M_i</math>皆为有序域，则所得的超积亦然。

所谓超幂，意思是所有因子<math>\mathcal M_i</math>皆相等的超积：

<math>\mathcal M^I/\mathcal U=\prod_{i\in I} \mathcal M/\mathcal U.\,</math>

也可以推广到<math>\mathcal U</math>不为超滤子，而仅为<math>I</math>上普通一个滤子的情况。此时所得的模型<math>\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U</math>称为约化积（英语：reduced product）。

例子

超实数系是可数无穷多个（以自然数集编号）实数系的超积，其中所选的超滤子含有全部余有限集。超实数系的大小次序扩展了实数之间的大小次序。例如，<math>\omega_n = n</math>的序列<math>(\omega_n)</math>所在的等价类，记为超实数<math>\omega</math>，比任意实数都要大，因为对于任意实数<math>r</math>，<math>(\omega_n)</math>除有限项外皆比<math>r</math>大。于是，<math>\omega</math>可以理解成无穷大数。

类似地，可以定义非标准整数系、非标准复数系等，为相应标准结构的超积。

又考虑以下例子，以便理解超积中关系的定义。设超实数<math>\psi</math>为序列<math>\psi_n = 2n</math>所在的等价类。由于对每个<math>n</math>都有<math>\psi_n > n = \omega_n</math>，在超积中，有<math>\psi > \omega</math>，所以<math>\psi</math>是较原先构造出的<math>\omega</math>更大的无穷大数。又考虑与<math>\omega_n = n</math>类似的序列<math>(\chi_n)</math>，令<math>n \neq 7</math>时，<math>\chi_n = n</math>，但<math>\chi_7 = 8</math>。则虽然两个序列<math>(\chi_n) \neq (\omega_n)</math>，但两者仅在有限个下标处不相等，故两者相等的下标集合是超滤子的元素（因为是余有限集），从而作为等价类，有<math>\omega = \chi</math>。

大基数论中，有个标准构造是小心选取超滤子<math>\mathcal U</math>，然后取整个集合论全类关于<math>\mathcal U</math>的超积。此时，<math>\mathcal U</math>的性质，对于所得超积的（高阶）性质影响很大。例如，若<math>\mathcal U</math>可数完备，则相应的超积仍是良基的。该范例在可测基数 § 定义有提及。

沃希定理

沃希定理（英语：Łoś's theorem），又称超积基本定理，由耶日·沃希所证（波兰语发音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理断言，任何一条一阶逻辑式在超积<math>\prod \mathcal M_i/ \mathcal U</math>中为真，当且仅当使该公式在<math>\mathcal M_i</math>中成立的指标<math>i</math>的集合，是<math>\mathcal U</math>的元素。后一个条件，可以直观理解为“大多数”<math>\mathcal M_i</math>皆认为该公式为真。严谨叙述如下：

设有表征<math>\sigma</math>，指标集<math>I</math>，其上的超滤子<math>\mathcal U</math>，且对每个<math>i \in I</math>，有<math>\sigma</math>结构<math>\mathcal M_i</math>。又设<math>\mathcal M</math>为<math>\mathcal M_i</math>关于<math>\mathcal U</math>之超积，即<math>\mathcal M = \prod_{i \in I} \mathcal M_i / \mathcal U</math>。则对任意<math>n</math>个多元组<math> a^{1}, \ldots, a^{n} \in \prod \mathcal M_{i} </math>，其中<math> a^{k} = (a^k_i)_{i \in I} </math>，以及对任意<math>\sigma</math>公式<math>\varphi</math>，

<math> \mathcal M \models \varphi(a^1, \ldots, a^n) \iff \left\{ i \in I : \mathcal M_{i} \models \varphi(a^1_{i}, \ldots, a^n_{i} )\right\} \in \mathcal U.</math>

定理对公式<math>\varphi</math>的复杂度归纳得证。<math>\mathcal U</math>为超滤子（而不仅是滤子）的性质，在加入否定的一步用到。而在加存在量词的一步，要用到选择公理。应用定理可得超实域的转移原理。

实例

设<math>R</math>为结构<math>\mathcal M</math>上的一元关系，并构造<math>\mathcal M</math>的超幂。则集合<math>S=\{x \in \mathcal M:\mathcal M \models R x\}</math>在超幂中有对应的子集<math>{}^*S</math>，而在<math>\mathcal M</math>中，对<math>S</math>量化且为真的一阶公式，将<math>S</math>换成<math>{}^*S</math>后，仍在超幂中成立。例如，设<math>\mathcal M = \mathbb R</math>为实数集。设<math>Rx</math>表示“<math>x</math>为有理数”。则在<math>\mathcal M</math>中，对每对有理数<math>x < y</math>，总有无理数<math>z</math>介于两者之间。即：

<math>\mathcal M \models (\forall x) (\forall y)(Rx \wedge Ry \wedge (x < y) \implies (\exists z) (\neg Rz \wedge x < z < y)). </math>

既然有理数集<math>S</math>此一性质可以写成一阶命题，沃希定理推出，超有理数集<math>{}^*S</math>仍有同一性质，即任意两个超有理数之间，有一个不为超有理数的超实数（“超无理数”）。更一般地，超有理数集与有理数集具有完全一样的一阶性质。

然而，考虑实数的阿基米德性质，即不存在实数<math>x</math>同时满足<math>x > 1,\ x> 1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots</math>此列无穷多条不等式。阿基米德性质无法用一阶逻辑表示，所以，沃希定理不适用于此性质，不能推导出超实数满足阿基米德性质。正好相反，超实数不满足阿基米德性质，例如前一节构造的超实数<math>\omega</math>，就比<math>1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots</math>都要大。

超幂的正极限（超极限）

File:Disambig gray.svg关于一列度量空间的超积，请见“超极限”。

模型论和集合论中，常考虑一列超幂的正极限（范畴论的余极限）。模型论中，此构造称为超极限（英语：ultralimit）或极限超幂（英语：limiting ultrapower）。

从某结构<math>\mathcal A_0</math>和超滤子<math>\mathcal U_0</math>开始，构造出超幂<math>\mathcal A_1</math>，并重复，得到<math>\mathcal A_2</math>等。对每个<math>n</math>，有典范对角嵌入<math>\mathcal A_n\hookrightarrow \mathcal A_{n+1}</math>。在极限阶段，如<math>\mathcal A_\omega</math>，取此前所有结构的正极限，如此便可取超限多次超幂。

参见

• 紧致性定理
• 勒文海姆–斯科伦定理
• 转移原理

参考资料

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction [模型与超积：导论] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （English）. 
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra [泛代数教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始内容存档于2005-01-23） （English）.