交集

在集合论和数学中，两个集合<math>A</math>和<math>B</math>的交集（Intersection）是含有所有既属于<math>A</math>又属于<math>B</math>的元素，而没有其他元素的集合。

有限交集

File:Set intersection.png

A和<math>B</math>的交集

交集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合 <math>A \cap B</math> ：

<math>(\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{

   (x \in A \cap B)
   \Leftrightarrow
   \left[
       (x \in A)
       \wedge
       (x \in B)
   \right]

\right\} </math>

也就是直观上：

<math>A</math>和<math>B</math>的交集写作“<math>A\cap B</math>”，“对所有 <math>x</math> ， <math>x \in A \cap B</math> 等价于 <math>x \in A</math> 且 <math>x \in B</math>”

例如：集合<math>\{1,2,3\}</math>和<math>\{2,3,4\}</math>的交集为<math>\{2,3\}</math>。数字<math>9</math>不属于素数集合<math>\{2,3,5,7,11,\ldots \}</math>和奇数集合<math>\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}</math>的交集。

若两个集合<math>A</math>和<math>B</math>的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：<math>A\cap B = \varnothing</math>。例如集合<math>\{1,2\}</math>和<math>\{3,4\}</math>不相交，写作<math>\{1,2\}\cap \{3,4\} = \varnothing</math>。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合<math>A,B</math>，<math>C</math>和<math>D</math>的交集为<math>A\cap B\cap C\cap D =A\cap (B\cap (C\cap D))</math>。交集运算满足结合律。即：

<math>A\cap (B\cap C) =(A\cap B)\cap C</math>

任意交集

以上定义可根据无限并集和补集来推广到任意集合的交集。

取一个集合 <math>\mathcal{M}</math> ，则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合：

<math>\bar{\mathcal{M}} :=\left\{

A \,|\, (\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c) \right\}</math>。

也就是直观上搜集所有 <math>M^c</math> 的集合， 这样的话有：

<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}

\Leftrightarrow (\exists A)[

   (x \in A)
   \wedge
   (\exists M \in \mathcal{M})(A = M^c)

] </math>

根据一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}

\Leftrightarrow (\exists M)[

   (M \in \mathcal{M})
   \wedge
   (x \notin M)
   \wedge
   (\exists A)(A = M^c)

]</math>

但根据一阶逻辑的等式相关定理，下式：

<math>(\exists A)(A = M^c)</math>

显然是个定理（也就是直观上为真），故：

<math>x \in \bigcup\bar{\mathcal{M}}

\Leftrightarrow (\exists M \in \mathcal{M})(x \notin M)</math>

换句话说：

<math>x \in {\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c

\Leftrightarrow (\forall M \in \mathcal{M})(x \in M) </math>

那可以做如下的符号定义：

<math>\bigcap\mathcal{M}

=

{\left(\bigcup\bar{\mathcal{M}}\right)}^c</math>

称为 <math>\mathcal{M}</math> 的任意交集或无限交集。也就是直观上“对所有 <math>x</math> ， <math>x \in \bigcap\mathcal{M}</math> 等价于对任何 <math>\mathcal{M}</math> 的下属集合 <math>M</math> ，都有 <math>x \in M</math>”

例如：

<math>A\cap B = \bigcap \{A,\,B\}</math>

类似于无限并集，无限交集的表示符号也有多种

可模仿求和符号记为

<math>\bigcap_{A\in \mathcal{M}} A</math>。

但大多数人会假设指标集 <math>I</math> 的存在，换句话说

若 <math>I \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M} </math> 则 <math>\bigcap_{i\in I} A(i) := \bigcap \mathcal{M} </math>

在指标集 <math>I</math> 是自然数系 <math>\N</math> 的情况下，更可以仿无穷级数来表示，也就是说：

若 <math>\N \,\overset{A}{\cong}\, \mathcal{M}</math> 则 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i) := \bigcap \mathcal{M}</math>

也可以更粗略直观的将 <math>\bigcap^{\infty}_{i = 1} A(i)</math> 写作<math>A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots</math>。

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差