锥台

锥台

File:Pentagonal frustum.svgFile:Usech kvadrat piramid.png 例如：五角锥台与四角锥台
类别	锥台
对偶多面体	不对称双锥体
识别
鲍尔斯缩写
数学表示法
康威表示法
性质
面	<math> { {n}+{2} } </math>
边	<math> { {3}\, {n} } </math>
顶点	<math> { {2}\, {n} } </math>
欧拉特征数	F=<math> { {n}+{2} } </math>, E=<math> { {3}\, {n} } </math>, V=<math> { {2}\, {n} } </math> （χ=2）
组成与布局
面的种类	n 个梯形, 2 个n边形
对称性
对称群	Cnv, [1,n], (*nn)
特性
凸多面体
图像
立体图 File:Dual of pentagonale frustum.png 不对称双锥体 （对偶多面体） File:Net of right pentagonal frustum.png （展开图）
注：<math> n </math>为底面边数 。

棱台是几何学中研究的一类多面体，指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面，原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同，棱台的称呼也不相同，依底面多边形而定，例如底面是正方形的棱台称为方棱台，底面为三角形的棱台称为三棱台，底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类，也是更广义的拟柱体的一种。根据所截的是圆锥还是棱锥，可分为圆台与棱台。

从棱台的定义可以推知，一个以n边形为底面的棱台，一共有2n个顶点，n+2个面以及3n条边。棱台的对偶多面体是双锥。棱台的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥，那么棱台和正多边形有相同的对称结构（同构的对称群）。

性质

体积

棱台的体积取决于两底面之间的距离（棱台的高），以及原来棱锥的体积。设<math>h</math>为棱台的高，<math>S_u</math>和<math>S_d</math>为棱台的上下底面积，<math>V</math> 为棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分（也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来棱锥的体积，再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时，截面的面积与底面面积的比，等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是<math>H</math>，那么小棱锥的高是<math>H - h</math>。也就是说：

<math>\frac{H-h}{H} = \sqrt{ \frac{S_u}{S_d}}</math>

所以：

<math>H = \frac{h \sqrt{S_d}}{\sqrt{S_d} - \sqrt{S_u}}</math>

棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积：

<math>V = \frac{S_d H}{3} - \frac{S_u (H - h)}{3} = \frac{(S_d \sqrt{S_d} - S_u \sqrt{S_u})h}{3(\sqrt{S_d} - \sqrt{S_u})} = \frac{h}{3} \left(S_d + S_u + \sqrt{S_d} \sqrt{S_u} \right) </math>

对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长分别为a和b，高是h，那么底面积是：<math>S_u = \frac{n a^2}{4}\cot \frac{\pi}{n}, \quad S_u = \frac{n b^2}{4}\cot \frac{\pi}{n}.</math> 所以它的体积是：

<math>V = \frac{n (a^2 + b^2 + ab) h}{12} \cot \frac{\pi}{n}.</math>

表面积

棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的，展开图的面积，就是各个侧面的面积之和，也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积S_c

<math>S_c =\sum_{i=1}^n S_i </math>，其中<math>S_i , i=1,2 \cdots , n</math>是第 i 个侧面的面积。

棱台的表面积等于棱台的侧面积S_c加上底面积S。假设各个梯形侧面的高是h_i，底边的长度是a_i和b_i，那么棱锥的侧面积：

<math>S_c =\sum_{i=1}^n S_i = \frac12 \sum_{i=1}^n (a_i+ b_i) h_i.</math>

体积公式

棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积：

<math>V = \frac{h_2 B_2 - h_1 B_1}{3}</math>

B₁ 指一个底面的面积，B₂指另一个底面的面积, and h₁， h₂ 指原顶点分别到两底面的面积。 考虑到

<math>\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}</math>

这个体积也可用平截头体的高 h = h₂−h₁ 与两底面面积的希罗平均数表达：

<math>V = \frac{h}{3}(B_1+B_2+\sqrt{B_1 B_2})</math>

亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。

特别地， 圆台的体积是

<math>V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1 R_2)</math>

π 等于 3.14159265...，'R₁, R₂ 是两底面的半径。

File:Frustum with symbols.svg

Pyramidal frustum.

底面为n边形的棱台的体积是

<math>V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_2^2+a_1a_2)\cot \frac{180}{n}</math>

a₁ 与 a₂ 是底面的边长。

表面积公式

对于一个正圆台，

<math>\begin{align}\text{Lateral Surface Area}&=\pi(R_1+R_2)s\\

&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}</math>

<math>\begin{align}\text{Total Surface Area}&=\pi\left[(R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2\right]\\

&=\pi\left[(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2\right]\end{align}</math> Lateral Surface Area指侧面积，Total Surface Area指总面积，R₁ and R₂ 为底面半径，s 为平截头体的斜高。 一个底面为正n边形的正棱台的表面积是

<math>A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]</math>

a₁ 与 a₂是两底面的边长。

参见

• 金字塔：某些金字塔是棱台状建筑，大部分是四棱台；
• 圆台：平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面和底面之间的部分；
• 棱锥：多边形的各个顶点与平面外一点相连得到的几何体。
• 双锥台
• 锥体

链接

• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• 埃里克·韦斯坦因. Pyramidal frustum. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Conical frustum. MathWorld. 
• Paper models of frustums (truncated pyramids) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Paper model of frustum (truncated cone) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Design paper models of conical frustum (truncated cones) （页面存档备份，存于互联网档案馆）