凸集
跳转到导航
跳转到搜索
在点集拓扑学与欧几里得空间中，凸集（Convex set）是一个点集合，其中每两点之间的线段点都落在该点集合中。
凸集实例[编辑]
- 区间是实数的凸集。
- 依据定义，中空的圆形称为圆（circle），它不是凸集；实心的圆形称为圆盘（disk），它是凸集。
- 凸多边形是欧几理得平面上的凸集，它们的每只角都小于180度。
- 单纯形是凸集，对于单纯形的顶点集合来说，单纯形是它们的最小凸集，所以单纯形也是一个凸包。
- 定宽曲线是凸集。
凸集的延森不等式定义[编辑]
在度量几何中，琴生不等式（Jensen's inequality）为凸集给出一个最健全的解释，而不必牵涉到二阶导数：
- 假设<math>S</math>为在实或复向量空间的集。若对于所有<math>x,y \in S</math>和所有<math>t \in [0,1]</math>，有<math>(1-t)x + ty \in S</math>，则称<math>S</math>为凸集。
简单而言，就是<math>S</math>中的任何两点之间的直线段都属于<math>S</math>。因此，凸集是一个连通空间。
特殊凸集[编辑]
特殊凸集是特别给了名称的凸集，它们可能是具有额外性质的凸集，或是在某种定义下的凸集（非一般定义中的凸集）。
具有额外性质的凸集[编辑]
在某种定义下的凸集[编辑]
- 星形凸集：若集<math>S</math>中存在一点<math>x_0</math>，使得由<math>x_0</math>到<math>S</math>中任何一点的直线段都属于<math>S</math>，则称<math>S</math>为星形域或星形凸集。星形域是简单连通的。
性质[编辑]
若<math>S</math>是凸集，对于任意<math>u_1,u_2,\ldots,u_r \in S</math>，及所有非负数<math>\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_r</math>满足<math>\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_r=1</math>，都有 <math>\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k \in S</math>。这个向量称为<math>u_1,u_2,\ldots,u_r</math>的凸组合。
非欧几何的凸集[编辑]
对于非欧平面，可用测地线来取代在欧几理德凸集的定义内直线段。