区间

File:Disambig gray.svg此条目介绍的是数学上的区间概念。关于铁路运输的区间概念，请见“闭塞 (铁路)”。

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在图中的数轴上，所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。

区间（英语：interval）在数学上是指某个范围的数的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。

简说

在初等代数，传统上区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能包含该两个实数（或其中之一）。区间表示法是表示一个变量在某个区间内的方式。通用的区间表示法中，圆括号表示排除，方括号表示包括。例如，开区间<math>(10, 20)</math>表示所有在<math>10</math>和<math>20</math>之间的实数，但不包括<math>10</math>或<math>20</math>。另一方面，闭区间<math>[10, 20]</math>表示所有在<math>10</math>和<math>20</math>之间的实数，以及<math>10</math>和<math>20</math>。

定义

实区间

在赋予通常序的实数集<math>\mathbb R</math>里，以<math>a,b\in\mathbb R</math>为端点的开区间和闭区间分别是：

<math>(a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a<x<b\}</math>

<math>[a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a\le x\le b\}</math>

类似地，以<math>a,b</math>为端点的两个半开区间定义为：

<math>(a,b]=\{x\in\mathbb R\colon a<x\le b\}</math>

<math>[a,b)=\{x\in\mathbb R\colon a\le x<b\}</math>

在一些上下文中，两个端点要求满足<math>a<b</math>。这排除了<math>a=b</math>从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了<math>a>b</math>从而区间为空集的情形。

只有左端点<math>a</math>的开区间和半开区间分别如下。

<math>(a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x>a\},</math>

<math>[a,\infty)=\{x\in\mathbb R\colon x\ge a\},</math>

只有右端点<math>b</math>的开区间和半开区间分别如下。

<math>(-\infty,b)=\{x\in\mathbb R\colon x<b\},</math>

<math>(-\infty,b]=\{x\in\mathbb R\colon x\le b\},</math>

整个实数线等于没有端点的区间：

<math>(-\infty,\infty)=\mathbb R</math>

偏序集或预序集中的区间

区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集<math>(X,\lesssim)</math>和两个元素<math>a,b\in X,</math>，我们可以类似定义

<math>(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}</math>

<math>[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}</math>

<math>(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}</math>

<math>[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}</math>

<math>(a,\infty)=\{x\in X\colon a<x\}</math>

<math>[a,\infty)=\{x\in X\colon a\lesssim x\}</math>

<math>(-\infty,b)=\{x\in X\colon x<b\}</math>

<math>(-\infty,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}</math>

<math>(-\infty,\infty)=X</math>

其中<math>x<y</math>意思是<math>x\lesssim y\not\lesssim x</math>。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

<math>\bar X=X\sqcup\{-\infty,\infty\}</math>

<math>-\infty<x<\infty\qquad(\forall x\in X)</math>

上具有两个端点的区间，使得它是<math>X</math>的子集。当<math>X=\mathbb R</math>时，可以取<math>\bar\mathbb R</math>为扩展实数线。

序凸集和序凸分支

预序集<math>(X,\lesssim)</math>的子集<math>A\subseteq X</math>是序凸集，如果对于任意<math>x,y\in A</math>以及任意<math>x\lesssim z\lesssim y</math>有<math>z\in A</math>。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集<math>(\mathbb Q,\le)</math>中，

<math>\mathbb Q=\{x\in\mathbb Q\colon x^2<2\}</math>

是序凸集，但它不是<math>\mathbb Q</math>的区间，这是因为2的平方根在<math>\mathbb Q</math>中是不存在的。

设<math>(X,\lesssim)</math>是一个预序集，且<math>Y\subseteq X</math>。包含在<math>Y</math>中的<math>X</math>的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做<math>Y</math>的序凸分支。由佐恩引理，包含在<math>Y</math>中的<math>X</math>的任意序凸集包含于<math>Y</math>的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。

区间算术

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算，在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

<math>T \times S = \{ x \mid {}</math>属于<math>T</math>的某些<math>y</math>，及属于<math>S</math>的某些<math>z</math>，使得<math>x = y \times z \}</math>

区间算术的基本运算是，对于实数线上的子集<math>[a, b]</math>及<math>[c, d]</math>：

<math>[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]</math>

<math>[a, b] - [c, d] = [a - d, b - c]</math>

<math>[a, b] \times [c, d] = [\min\{ac, ad, bc, bd\}, \max\{ac, ad, bc, bd\}]</math>

<math>\frac{[a, b]}{[c, d]} = \left[ \min \left\{ \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c}, \frac{b}{d} \right\}, \max \left\{ \frac{a}{c}, \frac{a}{d}, \frac{b}{c}, \frac{b}{d} \right\} \right] </math>

被一个包含零的区间除，在基础区间算术上无定义。

加法和乘法符合交换律、结合律和子分配律：集<math>X(Y + Z)</math>是<math>XY + XZ</math>的子集。

另一种写法

在法国及其他一些欧洲国家，用<math>] [</math>代替<math>()</math>来表示开区间，例如：

<math>\left] a, b\right[ = \{ x \mid a < x < b \}</math>

<math>\left[ a, b\right] = \{ x \mid a \le x \le b \}</math>

<math>\left[ a, b\right[ = \{ x \mid a \le x < b \}</math>

<math>\left] a, b\right] = \{ x \mid a < x \le b \}</math>

国际标准化组织编制的ISO 31-11也允许这种写法。

另外，在小数点以逗号来表示的情况下，为免产生混淆，分隔两数的逗号要用分号来代替，例如将<math>[1, 2.3]</math>写成<math>[1; 2,\!3]</math>。若只把小数点写成逗号，就会变成<math>[1, 2,\!3]</math>，此时不易判断究竟是<math>1.2</math>与<math>3</math>之间，还是<math>1</math>与<math>2.3</math>之间的闭区间。