立方體
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。 (2025年10月7日) |
| 立方體 (按這裡觀看旋轉模型) | |||
| 類別 | 柏拉圖立體 正多面體 | ||
|---|---|---|---|
| 識別 | |||
| 名稱 | 正六面體 | ||
| 參考索引 | U06, C18, W3 | ||
| 數學表示法 | |||
| 施萊夫利符號 | Module:SchläfliSymbol第180行Lua錯誤：attempt to index field 'wikibase' (a nil value) | ||
| 威佐夫符號 | 3 | 2 4 | ||
| 性質 | |||
| 面 | 6 | ||
| 邊 | 12 | ||
| 頂點 | 8 | ||
| 歐拉特徵數 | F=6, E=12, V=8 （χ=2） | ||
| 二面角 | 90° | ||
| 組成與佈局 | |||
| 面的種類 | 正方形 | ||
| 面的佈局 | 6個{4} | ||
| 頂點圖 | 4.4.4 | ||
| 對稱性 | |||
| 對稱群 | Oh | ||
| 特性 | |||
| 正凸環帶多面體 | |||
| 圖像 | |||
| |||
在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂點，是五個柏拉圖立體之一。
立方體是一種特殊的正四稜柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性，即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號{4,3}，考克斯特-迪肯符號node_1 4 node 3 node ，其對偶多面體為正八面體。
性質[編輯]
面的組成：正方形
面的數目：6
邊的數目：12
頂點數目：8
表面積：<math>6a^2\ </math>
體積：<math>a^3\ </math>
二面角角度：<math>90^\circ</math>
外接球半徑：<math>\sqrt{\frac{3}{4}}a</math><math>\approx 0.866 a</math>
內接球半徑：<math>\frac a 2</math>
對偶多面體：正八面體
在所有表面積一定的長方體中，立方體的體積最大，同樣，在所有線性大小（長寬高之和）一定的長方體中，立方體的體積也是最大的。反過來，體積相等的長方體中，立方體擁有最小表面積和線性大小。
頂點坐標及表面方程式[編輯]
在三維直角坐標系中，對於以原點為中心的、各棱平行於坐標軸的、棱長為2的立方體，其頂點坐標為 <math>(\pm 1, \pm 1, \pm 1)</math> 的全排列。其包含了所有滿足<math>|x|\leq 1</math>且<math>|y|\leq 1</math>且<math>|z|\leq 1</math>的點<math>(x,y,z)</math>。
在<math>R^3</math>中，以點<math>(x_0,y_0,z_0)</math>為中心的立方體表面是點<math>(x,y,z)</math>的運動軌跡，其中<math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>滿足：
- <math> \lim_{n \to \infty} (x - x_0 )^n + (y - y_0 )^n + ( z - z_0 )^n - a^n = 0.</math>
幾何性質[編輯]
立方體有11種不同的展開圖，也就是說有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而將其展平為平面圖形。
如果要將立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顏色，則至少需要3種顏色（類似於四色問題）。
立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾里得空間的柏拉圖正多面體，因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌（三維空間中的堆砌拓撲上等價於四維多胞體）。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的，因此，它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體（它所有相對的面關於立方體中心中心對稱）。
將立方體沿對角線切開，能得到6個全等的正4稜柱（但它不是半正的，底面棱長與側棱長之比為<math>2:\sqrt{3}</math>）將其正方形面貼到原來的立方體上，能得到菱形十二面體（兩兩共面三角形合成一個菱形）。
正交投影[編輯]
我們可以從不同角度將立方體投影到二維平面上，這些投影都各自攜帶有立方體原本BC3對稱性的一部分。
| 正對於 | 正方形面 | 頂點 |
|---|---|---|
| 考克斯特群 | B2 File:2-cube.svg |
A2 File:3-cube t0.svg |
| 投影 對稱性 |
[4] | [6] |
| 傾斜視角 | File:Cube t0 e.svg | File:Cube t0 fb.png |
半正對稱性與表面塗色[編輯]
作為正多面體之一，立方體擁有較高的對稱性，它的所有面在幾何上都是相同的，不可區分的。可是我們也可以想像將立方體的面「塗上」不同的「顏色」，使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」，使立方體擁有不同的對稱性。在立方體完全的對稱性，即正八面體對稱性Oh中，立方體的所有面都是相同的。二面體對稱性D4h則將立方體描述得像一個正四稜柱，有兩個顏色相同的上下底面，其餘4個側面顏色相同。立方體最低的對稱性D2h也將立方體描述的像一個稜柱，不過是長方形稜柱，即一個長方體，它的相對的面顏色相同，而相鄰的面是不同的。每一種半正對稱性都有自己的施萊夫利符號、考克斯特-迪肯符號和Wythoff符號。此外，由於其對偶正八面體也可被看作是正三反稜柱，立方體也可被看作是正三反稜柱的對偶，即正三偏方面體。
| 名稱 | 正六面體 | 正四稜柱 | 長方體 | 正三偏方面體 |
|---|---|---|---|---|
| 考克斯特符號 | node_1 4 node 3 node | node_1 4 node 2 node_1 | node_1 2 node_1 2 node_1 | node_fh 2 node_fh 6 node |
| 施萊夫利符號 | {4,3} | {4}×{} | {}×{}×{} | |
| Wythoff符號 | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |
| 對稱性 | Oh (*432) |
D4h (*422) |
D2h (*222) |
D3d (2*3) |
| 對稱群階 | 24 | 16 | 8 | 12 |
| 圖像 (半正表面塗色) |
File:Hexahedron.png (111) |
File:Tetragonal prism.png (112) |
File:Uniform polyhedron 222-t012.png (123) |
File:Trigonal trapezohedron.png (111), (112), (122), 及(222) |
相關多面體及鑲嵌[編輯]
- 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的<math>\sqrt 2</math>，其體積為立方體體積的<math>\frac{1}{3}</math>。
當正八面體在立方體之內：
正八面體體積 : 立方體體積
<math>=[\frac{1}{3}\times</math>高<math>\times</math>底面積<math>\times 2] :</math> 邊3
<math>= \frac{1}{3} \times \frac{n}{2} \times \frac{n^2}{2} \times 2 : n^3</math>
<math>=1:6</math>
- 星形八面體的對角線可組成一個立方體。
- 截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出
- 截角立方體
- 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方體是一個大家族，即立方形家族（又稱超方形、正測形）的3維成員，它們都具有相似的性質（如二面角都是90°、有類似的超體積公式，即<math>V_{n-cube}=a^n</math>等）。
- 長方體、偏方面體的特例。
將立方體對映映射後的到的商形成的一個實射影多面體，即立方體半形（hemicube）（不應叫其「半立方體」，因為其易與『demicube’混淆）。
正方體的對偶多面體是正八面體，如果原正方體棱長為1，則對偶正八面體棱長為<math>\sqrt{2}</math>。
正方體是一種最特殊的四邊形正六面體：
| 名稱 | 棱長相等？ | 對角相等？ | 各角為直角？ |
|---|---|---|---|
| 立方體 | 是 | 是 | 是 |
| 菱面體 | 是 | 是 | 否 |
| 長方體 | 否 | 是 | 是 |
| 平行六面體 | 否 | 是 | 否 |
| 四邊形正六面體 | 否 | 否 | 否 |
立方體的8個頂點可以被交錯地分為兩組，每一組都構成一個完整的正四面體，更嚴格地說，這是作為超半方形（demicube）的正四面體。這兩個正四面體組合到一起，就構成了一個正的複合多面體——星形正八面體（Stella Octagula）。兩個正四面體重合的地方構成凸的正八面體。這意味著，正四面體的對稱群A3是正方體對稱群的子群，對應著能將半立方體轉換到自身的對稱轉換，立方體其餘的對稱轉換能將兩個半立方體轉換到對方。一個這樣的正四面體占據了立方體體積的1/3,立方體剩餘的部分是4個全等的、頂角是立方體立體角的正三稜錐，各占立方體體積的1/6。
如果從立方體各棱中點處切掉立方體的角，原先立方體的正方形面將變成其對偶的正方形面，而切掉的頂點處出現了新的正三角形面，這樣的操作叫「截半」（rectification），得到的半正多面體叫截半立方體（rectified cube），又叫立方八面體（cuboctahedron）。如果不在棱中點處截斷，則這種操作叫「截角」（truncation），正方形面變成了八邊形。如果從合適處截斷，則可將正方形截成正八邊形，得到的半正多面體叫截頂立方體（truncated cube）。如果同時截掉立方體的棱和頂，則這種操作叫「截棱」（centellation），如果從合適處截斷，得到·的半正多面體是小斜方截半立方體（rhombicuboctahedron）。
正十二面體有20個頂點，它們可以以不同組合分成由8個頂點組成的5組，這8個頂點兩兩相連，構成內接在正十二面體內部的立方體，它的棱都是正十二面體的各面的對角線。這五個立方體組合在一起，構成複合多面體——五複合立方體。
如果完全切掉立方體相對的兩個頂點，則會得到一個非正的八面體，將8個這樣的八面體正三角形面對正三角形面貼到正八面體上，則得到截半立方體。
立方體與所有其它擁有BC3對稱性的多面體（如正八面體和立方八面體）構成正八面體家族：
此外，立方體在拓撲上與其它3階正鑲嵌{n,3}相關：
立方體在拓撲上還和其它階的正方形正鑲嵌{4,n}(n≥3)有關：
立方體是正四稜柱：
應用[編輯]
- 日常生活
- 遊戲
- 視錯覺
- 數論
數學問題[編輯]
倍立方體問題[編輯]
參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出<math>\sqrt[3]{2}</math>的位置
最大的橫切面[編輯]
立方體的橫切面只有四種：
其中以正六邊形的面積最大，若立方體的棱長為<math>a</math>，則正六邊形的面積為<math>\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}</math>。
