立方体
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。 (2025年10月7日) |
| 立方体 (按这里观看旋转模型) | |||
| 类别 | 柏拉图立体 正多面体 | ||
|---|---|---|---|
| 识别 | |||
| 名称 | 正六面体 | ||
| 参考索引 | U06, C18, W3 | ||
| 数学表示法 | |||
| 施莱夫利符号 | Module:SchläfliSymbol第180行Lua错误：attempt to index field 'wikibase' (a nil value) | ||
| 威佐夫符号 | 3 | 2 4 | ||
| 性质 | |||
| 面 | 6 | ||
| 边 | 12 | ||
| 顶点 | 8 | ||
| 欧拉特征数 | F=6, E=12, V=8 （χ=2） | ||
| 二面角 | 90° | ||
| 组成与布局 | |||
| 面的种类 | 正方形 | ||
| 面的布局 | 6个{4} | ||
| 顶点图 | 4.4.4 | ||
| 对称性 | |||
| 对称群 | Oh | ||
| 特性 | |||
| 正凸环带多面体 | |||
| 图像 | |||
| |||
在几何学中，立方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体、正方体或正立方体。它有12条棱（边）和8个顶点，是五个柏拉图立体之一。
立方体是一种特殊的正四棱柱、长方体、三方偏方面体、菱形多面体、平行六面体，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形一様。立方体具有正八面体对称性，即考克斯特BC3对称性，施莱夫利符号{4,3}，考克斯特-迪肯符号node_1 4 node 3 node ，其对偶多面体为正八面体。
性质[编辑]
面的组成：正方形
面的数目：6
边的数目：12
顶点数目：8
表面积：<math>6a^2\ </math>
体积：<math>a^3\ </math>
二面角角度：<math>90^\circ</math>
外接球半径：<math>\sqrt{\frac{3}{4}}a</math><math>\approx 0.866 a</math>
内接球半径：<math>\frac a 2</math>
对偶多面体：正八面体
在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。
顶点坐标及表面方程[编辑]
在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为 <math>(\pm 1, \pm 1, \pm 1)</math> 的全排列。其包含了所有满足<math>|x|\leq 1</math>且<math>|y|\leq 1</math>且<math>|z|\leq 1</math>的点<math>(x,y,z)</math>。
在<math>R^3</math>中，以点<math>(x_0,y_0,z_0)</math>为中心的立方体表面是点<math>(x,y,z)</math>的运动轨迹，其中<math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>满足：
- <math> \lim_{n \to \infty} (x - x_0 )^n + (y - y_0 )^n + ( z - z_0 )^n - a^n = 0.</math>
几何性质[编辑]
立方体有11种不同的展开图，也就是说有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形。
如果要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则至少需要3种颜色（类似于四色问题）。
立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。
将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为<math>2:\sqrt{3}</math>）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。
正交投影[编辑]
我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。
| 正对于 | 正方形面 | 顶点 |
|---|---|---|
| 考克斯特群 | B2 File:2-cube.svg |
A2 File:3-cube t0.svg |
| 投影 对称性 |
[4] | [6] |
| 倾斜视角 | File:Cube t0 e.svg | File:Cube t0 fb.png |
半正对称性与表面涂色[编辑]
作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号和Wythoff符号。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。
| 名称 | 正六面体 | 正四棱柱 | 长方体 | 正三偏方面体 |
|---|---|---|---|---|
| 考克斯特符号 | node_1 4 node 3 node | node_1 4 node 2 node_1 | node_1 2 node_1 2 node_1 | node_fh 2 node_fh 6 node |
| 施莱夫利符号 | {4,3} | {4}×{} | {}×{}×{} | |
| Wythoff符号 | 3 | 4 2 | 4 2 | 2 | 2 2 2 | | |
| 对称性 | Oh (*432) |
D4h (*422) |
D2h (*222) |
D3d (2*3) |
| 对称群阶 | 24 | 16 | 8 | 12 |
| 图像 (半正表面涂色) |
File:Hexahedron.png (111) |
File:Tetragonal prism.png (112) |
File:Uniform polyhedron 222-t012.png (123) |
File:Trigonal trapezohedron.png (111), (112), (122), 及(222) |
相关多面体及镶嵌[编辑]
- 将立方体的其中四个顶点相连，而这四个顶点任何两条都没有落在立方体同一条的边上，可得到一个正四面体，其边长为立方体边长的<math>\sqrt 2</math>，其体积为立方体体积的<math>\frac{1}{3}</math>。
当正八面体在立方体之内：
正八面体体积 : 立方体体积
<math>=[\frac{1}{3}\times</math>高<math>\times</math>底面积<math>\times 2] :</math> 边3
<math>= \frac{1}{3} \times \frac{n}{2} \times \frac{n^2}{2} \times 2 : n^3</math>
<math>=1:6</math>
- 星形八面体的对角线可组成一个立方体。
- 截半立方体：从一条棱斩去另一条棱的中点得出
- 截角立方体
- 超正方体：立方体在高维度的推广。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即<math>V_{n-cube}=a^n</math>等）。
- 长方体、偏方面体的特例。
将立方体对映映射后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方体半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。
正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为<math>\sqrt{2}</math>。
正方体是一种最特殊的四边形正六面体：
| 名称 | 棱长相等？ | 对角相等？ | 各角为直角？ |
|---|---|---|---|
| 立方体 | 是 | 是 | 是 |
| 菱面体 | 是 | 是 | 否 |
| 长方体 | 否 | 是 | 是 |
| 平行六面体 | 否 | 是 | 否 |
| 四边形正六面体 | 否 | 否 | 否 |
立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为超半方形（demicube）的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。
如果从立方体各棱中点处切掉立方体的角，原先立方体的正方形面将变成其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果不在棱中点处截断，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果从合适处截断，则可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果从合适处截断，得到·的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。
正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。
如果完全切掉立方体相对的两个顶点，则会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则得到截半立方体。
立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族：
此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关：
立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关：
立方体是正四棱柱：
应用[编辑]
- 日常生活
- 游戏
- 视错觉
- 数论
数学问题[编辑]
倍立方体问题[编辑]
参见尺规作图，已经证明此题无法用无刻度的直尺与圆规去画出<math>\sqrt[3]{2}</math>的位置
最大的横切面[编辑]
立方体的横切面只有四种：
其中以正六边形的面积最大，若立方体的棱长为<math>a</math>，则正六边形的面积为<math>\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}</math>。
