曲線

曲（qū）線指動點在空間中運動方向連續變化的軌跡。直線是特殊的曲線。

在現代數學中，曲線的定義是連續函數在拓撲空間上區間的圖像。

歷史

• 若爾當曲線定理
• 變分法（最速降線問題、等時降線）
• 希爾伯特第十六問題
• 皮亞諾曲線和其他Space-filling curve
• 卷繞數

定義

在數學上，一條曲線的定義為：

設<math>I = [a, b]</math>為一實數區間，即實數集的非空子集，那麼曲線<math>c</math>就是一個連續函數<math>c : I \rightarrow X</math>的映射，其中<math>X</math>為一個拓撲空間。

我們常遇到的平面曲線的拓撲空間為<math>\mathbb{R}^2</math>。

若f是單射的，則 c是簡單曲線（simple curve）。

若<math>I = [a, b]</math>和<math>f(a) = f(b)</math>，f是閉曲線（closed curve）或環圈。

曲線方程

參見：參數方程

一般來說，當在<math>\mathbb{R}^n</math>下一些符合一條方程的點的集合組成一條曲線時，那方程就叫那曲線的曲線方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，<math>x^2 + y^2 = 1</math>是單位圓的曲線方程，因為有且僅有單位圓上的點符合這條方程；因這些點組成一個單位圓，故該方程正代表着平面上的單位圓。

曲線長度

參見：弧長

若<math>\gamma(t):[a, b] \to X \subset R^n</math>，則其長度是

<math display=block>L(\gamma) = \int_a^b \left|\gamma'(t)\right| \mathrm dt</math>

平面曲線

例如，若一條平面曲線可表達成標準方程<math>y= f(x)</math>，那麼它的長度就是：

<math display=block>\int_a^b {\sqrt {\left[ f'\left( x \right) \right] ^ 2 + 1} \;{\rm{d}}x} </math>

其中<math>a\,</math>、<math>b \,</math>為<math>x\,</math>的上下限。

若平面曲線可表達成參數方程<math>x(t), y(t)</math>，那麼它的長度就是：

<math display=block>\int_\alpha ^\beta {\sqrt {\left( {x'} \right)^2 + \left( {y'} \right)^2 } {\rm{d}}t}</math>

其中<math>\alpha\,</math>、<math>\beta\,</math>為<math>t\,</math>的上下限。

外部連結

• （英文）MacTutor著名曲線列圖 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）