全等三角形

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都应对等。全等三角形是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形可以平移、旋转、轴对称，或重叠等。

全等的数学符号为：<math>\cong</math>

当使用该符号时，需保证符号两边的角、边一一对应。

定义[编辑]

当有两个或以上的三角形的对应边及角，完全相等，便是全等三角形。

<math>\triangle ABC \cong \triangle XYZ \,\!</math>

性质[编辑]

File:Congtri.png

三角形ABC与三角形DEF全等。

全等三角形有以下性质：

它们的对应边相等。
它们的对应角相等。

若三角形ABC与三角形DEF全等时（如右图），表示为：

<math>\triangle ABC \cong \triangle DEF \,\!</math>

下列三对边长为“对应边”：

<math>\overline{A B} \; \overline{D E}, \overline{B C} \; \overline{E F}, \overline{A C} \; \overline{D F}</math>

下列三对角为“对应角”：

<math>\angle A \; \angle D,\angle B \; \angle E,\angle C \; \angle F</math>

同时，所有对应边长及角度均相等：

<math>\angle BAC = \angle EDF \,\!</math>
<math>\angle ABC = \angle DEF \,\!</math>
<math>\angle ACB = \angle DFE \,\!</math>
<math> \overline{A B} = \overline{D E} \,\!</math>
<math> \overline{A C} = \overline{D F} \,\!</math>
<math> \overline{B C} = \overline{E F} \,\!</math>

用途[编辑]

因为多边形可由多个三角形组成，所以利用此方法，亦可验证其它全等的多边形。

判定[编辑]

File:Cong triangle.png

全等三角形的判定。

下列五种方法均可验证全等三角形：

SSS（Side-Side-Side，边、边、边；三边）：三边长度相等。
SAS（Side-Angle-Side，边、角、边；两边一夹角）：两边，且夹角相等。
ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角；两角一夹边）：两角，且夹边相等。
AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边；两角一对边）：两角，且非夹边相等。
RHS（Right angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边，又称 HL（斜边、直角边）；斜股性质）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

下列两种方法不能验证为全等三角形：

AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角）：三角相等。不过它是证明相似三角形的一个条件。
SSA（Side-Side-Angle，边、边、角）：两边相等，而另一角（非夹角）相等。（但当该角是直角或钝角时可确定三角形，而 RHS 便是该角是直角时的情形）

以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形，即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。

SSS[编辑]

File:Cong SSS.png

这两个三角形可以用 SSS 来验证全等。

如右图

	<math> \triangle ABC </math>	<math> \triangle CDA </math>	原因
边（一）	<math> \overline {A C} </math>	<math> \overline {C A} </math>	公共边
边（二）	<math> \overline {B C} </math>	<math> \overline {D A} </math>	已知
边（三）	<math> \overline {A B} </math>	<math> \overline {C D} </math>	已知

<math> \triangle ABC \cong \triangle CDA \,\!</math>

此时三边已知，三个角可分别由余弦定理计算，由于 <math>\cos{}</math> 在 0°到 180°之间是单调的，所以 <math>\arccos{}</math>可保证解出唯一值。

SAS[编辑]

File:Cong SAS.png

这两个三角形可以用 SAS 验证全等。

如右图

	<math> \triangle ABC </math>	<math> \triangle ADC </math>	原因
边（一）	<math> \overline {A C} </math>	<math> \overline {A C} </math>	公共边
角	<math> \angle BAC </math>	<math> \angle DAC </math>	已知
边（二）	<math> \overline {A B} </math>	<math> \overline {A D} </math>	已知

<math> \triangle ABC \cong \triangle ADC \,\!</math>

此时两边夹一角已知，首先用余弦定理计算第三边，接下来与 SSS 的情况相同。

ASA[编辑]

File:Cong ASA.png

这两个三角形可以用 ASA 来验证全等。

如右图

	<math> \triangle ABC </math>	<math> \triangle AED </math>	原因
角（一）	<math> \angle BAC </math>	<math> \angle EAD </math>	公共角
边	<math> \overline {A C} </math>	<math> \overline {A D} </math>	已知
角（二）	<math> \angle ACB </math>	<math> \angle ADE </math>	已知

<math> \triangle ABC \cong \triangle AED \,\!</math>

此时两角夹一边已知，通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

RHS[编辑]

File:Cong RHS.png

这两个三角形可以用 RHS 来验证全等。

RHS 判定定理在直角三角形中专用，也称“HL”。即为直角三角形中的 SSA，也称为斜股性质。如右图

	<math> \triangle {ABC} </math>	<math> \triangle {DFE} </math>	原因
直角	<math> \angle ACB </math>	<math> \angle DEF </math>	已知
斜边	<math> \overline {A B} </math>	<math> \overline {D F} </math>	已知
边	<math> \overline {B C} </math>	<math> \overline {F E} </math>	已知

<math> \triangle ABC \cong \triangle DFE \,\!</math>

勾股定理，或是直接连两边的顶端解出剩下一边，即变成 SSS 或 SAS。

不能验证全等三角形的条件[编辑]

AAA[编辑]

File:Cong AAA.png

用 AAA 不能验证三角形全等。

AAA（角、角、角），指两个三角形的任何三个角都对应地相同。但这不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在几何学上，当两条线叠在一起时，便会形一个点和一个角。而且，若该线无限地廷长，或无限地放大，该角度都不会改变。同理，在左图中，该两个三角形是相似三角形，这两个三角形的关系是放大缩小，因此角度不会改变。

这样，便能得知若边无限地根据比例加长，角度都保持不变。因此，AAA 并不能判定全等三角形。

从正弦定理的角度看，<math>\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R</math>

这个比例的比值可以任意缩放，因此无法唯一确定三边长度。

SSA[编辑]

File:Cong ASS.png

用 SSA 不能验证三角形全等。

SSA（边、边、角），也称为 ASS ，指两个三角形的任一角及另外两个没有夹着该角的边相等。但这不能判定全等三角形。

在右图中，分别有三角形 ABC 及三角形 DEF ，并提供了以下信息：

<math> \angle BAC = \angle EDF </math>
<math> \overline{A B} = \overline{D E} </math>
<math> \overline{B C} = \overline{E F} </math>

这即是 SSA。假如在右图绘画一个圆形，中心点为点E，半径为<math> \overline{E F} </math>。通过这个圆形便会发现：在<math> \angle EDF </math>和<math> \overline{D E} </math>没有改变的情况下，会出现另一个与<math> \overline{E F} </math>一样长度的直线（即图中的<math> \overline{E G} </math>）。这样便能证明 SSA 并不能验证全等三角形，（除非已知<math> \overline{B C} > \overline{A B} </math>。当是直角三角形时应称为RHS）。

虽然如此，当<math> \angle BAC </math> ≥ 90°时，<math> \angle BAC > \angle ACB </math>。又<math> \angle BAC > \angle ACB </math>⇔<math> \overline{B C} > \overline{A B} </math>，<math> \overline{B C} > \overline{A B} </math>，故可验证全等三角形。

再次使用正弦定理，<math>\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R</math>

其中已知 <math>a=\overline{D E}</math>、<math>c=\overline{E G}=\overline{E F}</math> 和 <math>\alpha=\angle D</math>，可解出 <math>\sin{\gamma}</math>，但 <math>\sin{}</math> 在 0°到 180°上先升后降导致 <math>\arcsin{}</math> 有两解，即 <math>\gamma</math> 可能是钝角或锐角（或退化为只有一解是直角的特殊情况，此处略去），分别对应图中的 <math>\angle DGE</math> 和 <math>\angle DFE</math>，然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时，可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 <math>\gamma</math>，此时做减法得出 <math>\beta</math> 后即可用余弦定理解得最后一边 <math>B</math>。

轶事[编辑]