上同调

来自Local Chinese Wikipedia
跳转到导航 跳转到搜索

在同调论与代数上链中，上同调（英语：Cohomology）表示由与拓扑空间相关的阿贝尔群组成的序列，经常由上链复形定义。上同调可以被视为给予空间（比同调）更丰富的代数不变量的方式。某些上同调是将同调的建构对偶化产生的。换言之，上链是同调论中链群上的函数。 这个概念一开始是在拓扑学中，到20世纪后半变成数学的一个主要方法。从原先将同调作为建构拓扑空间的代数不变量的方法，现今同调与上同调理论的应用已遍布几何与代数。上同调是个反变的理论，而在很多应用中比同调更自然，但术语使上述事实变得不明显。基础地看，这与几何的情况中的函数与拉回有关：给定空间 X、Y 、 Y 上的某种函数 F ，对任何映射 f : X → Y ，与 f 的复合会产生在 X 上的函数 F ∘ f 。最重要的一些上同调论有一种积，称为上积，使其具有环的结构。所以，上同调常是比同调更强的不变量。

广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。

奇异上同调[编辑]

奇异上同调是拓扑学中一个强大的不变量，将分次交换环同任意拓扑空间联系起来。每个连续映射<math>f:\ X\to Y</math>都决定了从Y的上同调环到X的上同调环的同态，这对X到Y的可能映射施加了强有力的限制。上同调环不同于同伦群等更微妙的不变式，对于感兴趣的空间来说，实际上往往是可以计算的。

对拓扑空间X，奇异上同调的定义始于奇异链复形：[1]: 108  <math display="block">\cdots \to C_{i+1}\stackrel{\partial_{i+1}}{\to} C_i \stackrel{ \partial_i}{\to}\ C_{i-1} \to \cdots </math> 由定义，X的奇异同调是这链复形的同调（一个同态的核对前一个的像取模）。更详细地说，<math>C_i</math>是从标准i单纯形到X（称作“X中的奇异i单形（simplice）”）的连续映射集的自由阿贝尔群；<math>\partial_i</math>是第i个边界同态。i为负数时，群<math>C_i</math>为零。

现固定一个阿贝尔群A，把每个群Ci换成其对偶群<math>C_i^* := \mathrm{Hom}(C_i,A),</math>；把<math>\partial_i</math>换成对偶同态 <math display="block">d_{i-1}: C_{i-1}^* \to C_{i}^*.</math>

这会把原复形的“所有箭头都逆转”，留下上链复形 <math display="block">\cdots \leftarrow C_{i+1}^* \stackrel{d_i}{\leftarrow}\ C_{i}^* \stackrel{d_{i-1}}{\leftarrow} C_{i-1}^* \leftarrow \cdots </math>

对任意整数i，X的第i个系数在A中的上同调群定义为<math>{\rm ker}(d_i)/{\rm im}(d_{i-1}),</math>记作<math>H^i(X,\ A).</math>i为负数时，群为零。<math>C_i^*</math>的元素称作奇异i上链，系数在A中。（等价地，X上的i上链可从X中到A的奇异i单形集函数中辨别出来）ker(d)、im(d)中的元素分别称作上循环和上边界（coboundary），<math>{\rm ker}(d)/{\rm im}(d)=H^i(X,\ A)</math>的元素则称作上同调类（因为是上循环的等价类）。

下文时而省略系数群A不写。通常取A为交换环R，则上同调群为R模。标准的选择是整数环Z。

上同调的一些形式性质与同调基本一致：

  • 连续映射<math>f: X \to Y</math>决定了同调上的前推同态<math>f_*:H_i(X) \to H_i(Y)</math>与上同调上的拉回同态<math>f^*: H^i(Y) \to H^i(X)</math>，这使上同调成为从拓扑空间到阿贝尔群（或R模）的反变函子。
  • X到Y的两个同伦映射会在上同调引起相同的同态（如在同调上）。
  • 迈尔–维托里斯正合列是同调与上同调中重要的计算工具。注意边界同态增加（而非减少）了上同调的度；即，若空间X是开子集U与V的交，则有长正合序列：<math display="block">\cdots \to H^i(X) \to H^i(U)\oplus H^i(V) \to H^i(U\cap V) \to H^{i+1}(X) \to \cdots</math>
  • 对空间X的任意子空间Y，有相关上同调群<math>H^i(X,Y;A).</math>由长正合序列与通常的上同调群相关联：<math display="block">\cdots \to H^i(X,Y) \to H^i(X) \to H^i(Y) \to H^{i+1}(X,Y) \to \cdots</math>
  • 泛系数定理用Ext群描述了上同调，即有短正合序列<math display="block"> 0 \to \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\operatorname{H}_{i-1}(X, \Z), A) \to H^i(X, A) \to \operatorname{Hom}_{\Z}(H_i(X,\Z), A)\to 0.</math>相关的说法是，对域F，<math>H^i(X,F)</math>正是向量空间<math>H_i(X,F)</math>的对偶空间。
  • 若X是拓扑流形或CW复形，则对大于X的维度的i，上同调群<math>H^i(X,A)</math>为零。[2]若X是紧流形（可能有界），或是在每个维度都有有限多单元的CW复形，且R是交换诺特环，则R模<math>H^i(X,\ R)</math>对每个i都是有限生成模。[3]

另一方面，上同调有同调没有的重要结构：对任意拓扑空间X与交换环R，有称作上积的双线性映射： <math display="block">H^i(X,R)\times H^j(X,R) \to H^{i+j}(X,R),</math> 从奇异上链的明确公式定义。上同调类u与v的积写作u ∪ v或只是uv，这个积使得直和 <math display="block">H^*(X,R)=\bigoplus_i H^i(X,R)</math> 变为分次环，称作X的上同调环，在如下意义上是分次交换环：[4] <math display="block">uv=(-1)^{ij}vu, \qquad u \in H^i(X,R), v \in H^j(X,R).</math>

对任意连续映射<math>f\colon X\to Y,</math>，拉回<math>f^*: H^*(Y,R) \to H^*(X, R)</math>是分次R代数的同态。可见，若两空间同伦等价，则它们的上同调环就同构。

下面是上积的一些几何解释。除非另有说明，否则默认流形无界。闭流形是（不含边界）紧流形，而流形M的闭子流形N是M的闭子集的子流形，不必是紧流形（不过，若M紧，则N必紧）。

  • 令X为n维闭有向流形，则庞加莱对偶性给出同构<math>H^iX\cong H_{n-i}X</math>。于是，X中余维度为i的闭有向子流形决定了<math>H^iX</math>中的上同调类，称作<math>[S].</math>在这些术语中，上积描述了子流形的相交：若S、T是余维度为i、j的子流形，并横截地相交，则<math display="block">[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),</math>当中的交S ∩ T是余维度为i+j的子流形，方向由S、T、X的方向确定。在光滑流形的情形下，若S、T不横截着相交，则这公式仍可计算上积<math>[S][T]</math>，方法是扰动S或T使其横截相交。
    更一般地，X不需有向，其闭子流形与法丛上的方向决定了X上的一个上同调类。若X是非紧流形，则闭子流形（不需是紧的）决定了X上的上同调类。两种情形下，上积仍可用子流形之交来描述。
    注意勒内·托姆在光滑14维流形上构造了度为7的积分上同调类，不是任何光滑子流形的类。[5]: 62–63 另一方面，他证明了光滑流形上所有度为正的积分上同调类都有正倍数，其是光滑子流形的类。[5]: 定理II.29 而且，流形上的所有积分上同调类都可用“伪流形”（即单纯形，在余维度至少为2的闭子集之外是流形）表示。
  • 对光滑流形X，德拉姆定理表明，具有实系数的X的奇异上同调与X的德拉姆上同调同构，由微分形式定义。上积对应微分形式的积。这解释的优点在于微分形式的积是分次交换的，而奇异上链的积只在链同伦意义上分次交换。事实上，对系数在整数<math>\Z</math>或<math>\Z/p</math>（p为使积在鼻上分次交换的素数）中的奇异上链，无法修改其定义。上链层面上分次交换性失效，导致了模p上同调上的斯廷罗德运算。

非常不正式地说，对任意拓扑空间X，<math>H^i(X)</math>的元素都可认为是可在X上自由移动的余维度为i的子空间。举例来说，定义元素的一种方法是给出从X到流形M的连续映射f，以及M的余维度为i的闭子流形N，且在法丛上有向。形式上说，可将结果类<math>f^*([N]) \in H^i(X)</math>视为位于X的子空间<math>f^{-1}(N)</math>上；这是合理的，因为类<math>f^*([N])</math>在开子集<math>X-f^{-1}(N)</math>的上同调中限制为零。上同调类<math>f^*([N])</math>可在X上自由移动，即N可被M内N的任意连续变形所代替。

例子[编辑]

下面默认上同调系数为整数。

  • 点的上同调环是度为0的环Z。根据同伦不变性，这也是任何可紧空间的上同调环，如欧氏空间Rn。
  • File:Torus cycles.svg
    2维环面的第一上同调群的基由所示两个圆的类给出。
    对正整数n，N维球面<math>S^n</math>的上同调环是<math>\mathbb{Z}[x]/(x^2)</math>（多项式环对给定理想的商环），x的度为n。根据上述庞加莱对偶性，x是球面上一点的类。
  • 环面<math>(S^1)^n</math>的上同调环是度为1的n个生成器上的Z的外代数。[6]例如，令P表示圆<math>S^1</math>中的点，Q为2维环面<math>(S^1)^2</math>中的点(P,P)。则，<math>(S^1)^2</math>的上同调有如下形式的自由Z模基：度为0的元素1、度为1的<math>x\mathrel{\mathop:}=[P\times S^1]</math>及<math>y\mathrel{\mathop:}=[S^1\times P]</math>、度为2的<math>xy=[Q].</math>（此处隐含地固定了环面和两个圆的方向）注意由分次交换性可知，<math>yx=-xy=-[Q].</math>
  • 更一般地，令R为交换环、令X与Y为使<math>H^*(X,\ R)</math>为所有度都是有限生成自由R模的任意拓扑空间（Y不需要假设）。则据克奈定理，积空间<math>X\times Y</math>的上同调环是R代数的张量积：[1]: 定理3.15  <math display="block">H^*(X\times Y,R)\cong H^*(X,R)\otimes_R H^*(Y,R).</math>
  • 实射影空间<math>\mathbb{RP}^n</math>的上同调环（系数位于<math>\mathbb{Z}/2</math>）是<math>\mathbb{Z}/2[x]/(x^{n+1})</math>，x的度为1。[1]: 定理3.19 当中x是<math>\mathbb{RP}^n</math>中的超平面<math>\mathbb{RP}^{n-1}</math>的类，即使<math>\mathbb{RP}^j</math>（j为正偶数）无向也成立，因为<math>\mathbb{Z}/2</math>系数的庞加莱对偶性适于任意流形。
    若系数是整数，就比较复杂了。<math>\mathbb{RP}^{2a}</math>的Z上同调具有度为2的元素y，使整个上同调是度为0的元素1张成的Z与<math>y^i\ (i=1,\ \ldots,\ a)</math>张成的Z/2的直和。<math>\mathbb{RP}^{2a+1}</math>的Z上同调也如此，只是多了一份度为2a+1的Z。[1]: 22 
  • 复射影空间<math>\mathbb{CP}^n</math>的上同调环是<math>\mathbb{Z}[x]/(x^{m+1})</math>，其中x的度为2。[1]: 定理3.19 x是<math>\mathbb{CP}^n</math>中超平面<math>\mathbb{CP}^{n-1}</math>的类；更一般地说，<math>x^j</math>是<math>\mathbb{CP}^n</math>中线性子空间<math>\mathbb{CP}^{n-j}</math>的类。
  • 亏格g ≥ 0的闭有向面X的上同调环有如下形式的自由Z模的基：度为0的元素1、度为1的<math>A_1,\ \ldots,\ A_g</math>及<math>B_1,\ \ldots,\ B_g</math>、度为2的点的类P。积由下面的定义给出：<math>A_iA_j=B_iB_j= 0,\ \forall i,\ j;\quad A_iB_j=0\ (i\ne j);\quad A_iB_j=0\ (i\ne j),\ A_iB_i=P,\ \forall i.</math>[7]由分次交换性，可知有BiAi = −P
  • 在任意拓扑空间上，上同调环的分次交换性都表明，对任意度为奇的上同调类x都有<math>2x^2=0.</math>因此，对包含1/2的环R，<math>H^*(X,\ R)</math>中所有度为奇的元素的平方都是零。另一方面，若R是<math>\mathbb{Z}/2</math>或<math>\mathbb{Z}</math>，则度为奇的元素不必有平方零，正如例子<math>\mathbb{RP}^2</math>（系数<math>\mathbb{Z}/2</math>）或<math>\mathbb{RP}^4\times\mathbb{RP}^2</math>（系数<math>\mathbb{Z}</math>）。

对角[编辑]

上积可视作来自对角映射<math>\Delta:\ X\to X\times X,\ x\mapsto(x,\ x).</math>也就是说，对于具有上同调类<math>u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)</math>的任意空间X、Y，有外积（或叉积）上同调类<math>u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).</math>类<math>u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(X,\ R)</math>的上积可定义为外积的对角线拉回：[1]: 186  <math display="block">uv=\Delta^*(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).</math>

另外，外积也可用上积定义。对空间X、Y，将两投影分别写作<math>f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y</math>，则<math>u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)</math>两类的外积就是 <math display="block">u\times v=(f^*(u))(g^*(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).</math>

庞加莱对偶性[编辑]

主条目：庞加莱对偶性

庞加莱对偶性的另一种解释是，闭有向流形的上同调环在强意义上是自对偶的。也就是说，令X为n维闭紧有向流形，F为域。则<math>H^n(X,\ F)</math>同构于F，积

<math>H^i(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^n(X,F)\cong F</math>

对每个整数i是完美配对。[8]特别地，向量空间<math>H^i(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)</math>具有相同的（有限）维度。同样，积分上同调模挠、在<math>H^n(X,\ \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}</math>中取值的积是Z上的完美配对。

示性类[编辑]

主条目：示性类

拓扑空间X上秩为r的有向实向量丛E决定了X上的上同调类，即欧拉类<math>\xi(E)\in H^r(X,\ \mathbb{Z})</math>χ。非正式地说，欧拉类是E的一般截面的零集类。E若是光滑流形X上的光滑向量丛E，这种解释会更明确，因为此时X的一般光滑截面会在X的r余维子流形上归于零。

在上同调取值的向量丛还有其他几种示性类，如陈类、施蒂费尔–惠特尼类、庞特里亚金类等。

艾伦伯格–麦克兰恩空间[编辑]

主条目：艾伦伯格–麦克兰恩空间

对任意阿贝尔群A与自然数j，有空间<math>K(A,j)</math>，其第j个同伦群同构于A，其他同伦群均为零。这样的空间叫做艾伦伯格–麦克兰恩空间，对上同调是分类空间：有<math>H^j(K(A,j),A)</math>的自然元素u，每个空间X上每个度为j的上同调类都是u对某连续映射<math>X\to K(A,j)</math>的拉回。更确切地说，类u的拉回对每个具有CW复形上同调类型的空间X给出了双射[9]: 177 

<math>[X, K(A,j)] \stackrel{\cong}{\to} H^j(X,A)</math>

当中<math>[X,Y]</math>表示X到Y的连续映射的同伦类集合。

例如，空间<math>K(\Z,1)</math>（同伦等价意义上）可看作是圆<math>S^1</math>，所以上面的描述说，<math>H^1(X,\Z)</math>的每个元素都是通过某映射<math>X\to S^1</math>从<math>S^1</math>是哪个一点的类u拉回的。

对系数在任意阿贝尔群A（如CW复形X）中的第一上同调，都有相关的描述：<math>H^1(X,A)</math>与具有群A的X的伽罗瓦覆叠空间的同构类集（也称为X上的主A丛）一一对应。对连通的X，<math>H^1(X,A)</math>同构于<math>\operatorname{Hom}(\pi_1(X),A)</math>，曲线<math>\pi_1(X)</math>是X的基本群。例如，<math>H^1(X,\Z/2)</math>分类了X的双覆叠空间，元素<math>0\in H^1(X,\Z/2)</math>对应平凡双覆叠，即两个X的不交并。

下积[编辑]

主条目：下积

对任意拓扑空间X、任意整数i、j、任意交换环R，下积是双线性映射

<math>\cap: H^i(X,R)\times H_j(X,R) \to H_{j-i}(X,R)</math>

得到映射

<math>H^*(X,R)\times H_*(X,R) \to H_*(X,R)</math>

使X的奇异上同调成为X的奇异上同调环上的模。

<math>i=j</math>时，下积给出了自然同态

<math>H^i(X,R)\to \operatorname{Hom}_R(H_i(X,R),R),</math>

其是R域的同构。

例如，令X是有向流形，不必是紧的。则其余维为i的闭有向子流形Y（不必紧）确定了<math>H^i(X,\ R)</math>中的一个元素，X的紧有向j维子流形Z确定了<math>H_j(X,\ R)</math>中的一个元素。下积<math>[Y]\cap[Z]\in H_{j-i}(X,\ R)</math>可通过扰动Y、Z使其横截相交，再取交集的类（即j-i维紧有向子流形）进行计算。

n维闭有向子流形X在<math>H_n(X,\ R)</math>中具有基本类<math>[X]</math>。庞加莱对偶同构 <math display="block">H^i(X,R)\overset{\cong}{\to} H_{n-i}(X,R)</math> 可通过与X的基本类的下积定义。

奇异上同调简史[编辑]

上同调是现代代数拓扑的基础，但在同调论发展了40余年后，人们才意识到其重要性。亨利·庞加莱证明庞加莱对偶定理用的“对偶单元结构”概念即是上同调思想的雏形，但后来才被发现。

<math>H_i(M) \times H_j(M) \to H_{i+j-n}(M),</math>

这与M的上同调的上积很相似。

层上同调[编辑]

主条目：层上同调

层上同调是奇异上同调的丰富推广，允许更一般的系数，而不限于阿贝尔群。对拓扑空间X上任意的阿贝尔群层，有上同调群<math>H^i(X,\ E)</math>（i为整数）。特别地，X上的常层与阿贝尔群A相关联的情形下，所得的群<math>H^i(X,\ A)</math>与X的奇异上同调（流形或CW复形）重合（并非对任意X都成立）。20世纪50年代开始，层上同调成为了代数几何与复分析的核心部分，部分原因是正则函数层或全纯函数层的重要性。

亚历山大·格罗滕迪克用同调代数优雅地定义、描述了层上同调。其要点在于固定空间X，并将层上同调视作从X上的阿贝尔范畴层到阿贝尔群的函子。首先，取从X上的层E到其在X上的非局部截面的阿贝尔群的函子，即E(X)，它是左正合函子，而不必右正合。格罗滕迪克定义层上同调群为左正合函子<math>E\mapsto E(X)</math>的右导出函子。[11]

这定义可以有很多推广。例如，可定义拓扑空间X的上同调，其系数可以在层的任意复形中，早先称作超上同调（现在则只叫做“上同调”）。从这角度来看，层上同调成了从X上的层导出范畴到阿贝尔群的函子序列。

更广义地讲，“上同调”常用作阿贝尔范畴上的左正合函子的右导出函子，而“同调”则是右正合函子的左导出函子。例如，对于环R，Tor群<math>{\rm Tor}_i^R(M,\ N)</math>在每个簇形成“同调”，即R模的张量积<math>M\otimes_RN</math>的左导出函子。同样，Ext群<math>{\rm Ext}^i_R(M,\ N)</math>可视作是每个簇中的“上同调”，c即Hom函子<math>{\rm Hom}_R(M,\ N)</math>的右导出函子。

层上同调与一种Ext群相关：对拓扑空间X上的层E，<math>H^i(X,\ E)</math>同构于<math>{\rm Ext}^i(\mathbb{Z}_X,\ E)</math>，当中<math>\mathbb{Z}_X</math>表示与整数Z相关联的常层，Ext取X上的层的阿贝尔范畴。

簇的上同调[编辑]

有很多构造可计算代数簇的上同调。最简单的情形是确定<math>0</math>特征域上光滑射影簇的上同调。霍奇理论有叫做霍奇结构的工具，有助于计算这些簇类的上同调（增加了更精细的信息）。最简单的情形下，<math>\mathbb{P}^n</math>中的光滑超平面的上同调可仅根据多项式的度确定。

考虑有限或特征为<math>p</math>的域上的簇，需要更有力的工具，因为同调/上同调的经典定义被打破了：有限域上的簇只能是有限点集。格罗滕迪克提出了运用格罗滕迪克拓扑的想法，并用平展拓扑上的层上同调定义有限域上的簇的上同调论。利用特征<math>p</math>域上的簇的平展拓扑，可构造<math>\ell</math>进上同调（<math>\ell\neq p</math>）：

<math>H^k(X;\Q_\ell) := \varprojlim H^k_{et}(X;\Z/(\ell^n)) \otimes_{\Z_\ell} \Q_\ell</math>

若有有限类型的概形

<math>X = \text{Proj} \left( \frac{\Z \left[x_0,\ldots,x_n \right]}{ \left (f_1,\ldots,f_k \right )} \right)</math>

则只要簇在两个域上都光滑，<math>X(\Complex)</math>的贝蒂上同调和<math>X(\mathbb{F}_q)</math>的<math>\ell</math>进上同调的维度就相等。此外，还有韦尔上同调论，与奇异上同调的行为类似。有一种猜想，其理论动机是所有韦尔上同调论的基础。

另一个有用的计算工具是爆破序列（blowup sequence）。给定余维度<math>\geq 2</math>的子概形<math>Z \subset X</math>，有笛卡儿平方

<math>\begin{matrix}

E & \longrightarrow & Bl_Z(X) \\ \downarrow & & \downarrow \\ Z & \longrightarrow & X \end{matrix}</math>

由此，有相关的长正合序列

<math>\cdots \to H^n(X) \to H^n(Z) \oplus H^n(Bl_Z(X)) \to H^n(E) \to H^{n+1}(X) \to \cdots</math>

若子簇<math>Z</math>光滑，则连通态射均平凡，因此

<math>H^n(Bl_Z(X))\oplus H^n(Z) \cong H^n(X) \oplus H^n(E)</math>

此外，利用法丛<math>N_{Z/X}</math>的陈类，爆破的上同调环很容易计算，公式为

<math>

H^*() </math>

公理与广义上同调论[编辑]

拓扑空间的上同调有多种定义（如奇异上同调、切赫上同调、亚历山大–斯潘尼尔上同调或层上同调）（此处层上同调只考虑系数在常层中）。这些理论对某些空间给出了不同结果，但对一大类空间都是一致的，这从公理上最容易理解：有一系列属性称作艾伦伯格-斯廷罗德公理，任意两个满足其的构造至少在所有CW复形上都一致。[9]: 95 同调论和上同调论都有公理版本。有些理论可作为计算特殊拓扑空间的奇异上同调的工具，如单纯复形的单纯上同调、CW复形的胞腔上同调、光滑流形的德拉姆上同调。

上同调论的艾伦伯格-斯廷罗德公理之一是维度公理：若P是单点，则<math>H^i(P)=0,\ \forall i\ne 0.</math>1960年左右，George W. Whitehead发现，完全省略维度公理很有意义：这就产生了广义（上）同调论（定义如下）。K理论或复配边之类的广义上同调论，提供了拓扑空间的丰富信息，且是奇异上同调无法直接提供的（这时，奇异上同调通常叫做“普通上同调”）。

由定义，广义同调论是从CW-拓扑对范畴<math>(X,\ A)</math>（于是X是CW复形，A是子复形）到阿贝尔群范畴的函子序列<math>h_i</math>（i是整数），以及自然变换<math>\partial_i:\ h_i(X,\ A)\to h_{i-1}(A)</math>，称作边界同态（其中<math>h_{i-1}(A)</math>是<math>h_{i-1}(A,\ \emptyset)</math>的简写）。公理如下：

  1. 同伦：若<math>f:(X,A) \to (Y,B)</math>同伦于<math>g: (X,A) \to (Y,B)</math>，则同调上的诱导同态相同。
  2. 正合性：由结论f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每对(X,A)都在同调上诱导了长正合序列：<math display="block"> \cdots \to h_i(A) \overset{f_*}{\to} h_i(X) \overset{g_*}{\to} h_i (X,A) \overset{\partial}{\to} h_{i-1}(A) \to \cdots.</math>
  3. 切除：若X是子复形A、B的并，则对每个i，包含<math>f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)</math>会诱导同构<math display="block"> h_i(A, A\cap B) \overset{f_*}{\to} h_i(X,B)</math>
  4. 可加性：若(X,A)是一组对<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)</math>的不交并，则对每个i，包含<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)</math>会诱导从直积出发的同构：<math display="block"> \bigoplus_{\alpha} h_i(X_\alpha,A_\alpha)\to h_i(X,A)</math>

广义上同调论的公理大致是通过翻转箭头得到的。更详细地说，广义上同调论是一系列从CW-拓扑对范畴到阿贝尔群范畴的反变函子序列<math>h^i</math>（i是整数），及自然变换d: hi(A) → hi+1(X,A)，称作边界同态 （其中<math>h^i(A)</math>表示<math>h^i(A,\ \emptyset)</math>。公理如下：

  1. 同伦：同伦映射在上同调诱导相同的同态。
  2. 正合性：由结论f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每对(X,A)都在上同调上诱导了长正合序列：<math display="block"> \cdots \to h^i(X,A) \overset{g_*}{\to} h^i(X) \overset{f_*}{\to} h^i (A) \overset{d}{\to} h^{i+1}(X,A) \to \cdots.</math>
  3. 切除：若X是子复形A、B的并，则对每个i，包含<math>f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)</math>会诱导同构<math display="block"> h^i(X,B) \overset{f_*}{\to} h^i(A,A\cap B)</math>
  4. 可加性：若(X,A)是一组对<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)</math>的不交并，则对每个i，包含<math>(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)</math>会诱导到达积群的同构：<math display="block"> h^i(X,A)\to \prod_\alpha h^i(X_\alpha,A_\alpha)</math>

谱决定了广义（上）同调论。Brown、Whitehead、Adams得到的一个基本结果是：所有广义同调论都来自一个谱，所有广义上同调论也来自一个谱。[12]这推广了艾伦伯格–麦克兰恩空间对普通上同调的可表性。

一个微妙问题是，从稳定同调范畴（谱的同伦范畴）到CW-拓扑对上的广义同调论的函子，虽然给出了同构类上的双射，但是不等价；在稳定同伦范畴中，有非零映射（即幻影映射（英语：phantom map）），其诱导了CW-拓扑对上同伦论间的零映射。同样，从稳定同伦范畴到XW-拓扑对上的广义上同调论的函子也不等价。[13]正是稳定同伦范畴具有三角化之类良好性质。

要将（上）同调论的定义域从CW复形推广到任意拓扑空间，一种标准方法是加入公理：所有弱同伦等价都会在（上）同调诱导一个同构（对奇异（上）同调是正确的，但层上同调等则不然）。由于每个空间都可从CW复形得到弱同伦等价，这公理将所有空间的（上）同调论还原为CW复形的相应理论。[14]

广义上同调论的一些例子：

  • 稳定上同伦群<math>\pi_S^*(X).</math>相应的同调论更常用：稳定同伦群<math>\pi^S_*(X).</math>
  • 各种配边群，从空间到流形的所有映射的角度研究空间：无向配边<math>MO^*(X)</math>有向配边<math>MSO^*(X),</math>复配边<math>MU^*(X),</math>等等。复配边在同伦论中尤为强大，经由丹尼尔·奎伦的定理，同形式群密切相关。
  • 拓扑K理论的各种形式，从空间上所有向量丛的角度研究空间：<math>KO^*(X)</math>（实周期K理论）、<math>ko^*(X)</math>（实连通K理论）、<math>K^*(X)</math>（复周期K理论）、<math>ku^*(X)</math>（复连通K理论），等等。
  • 布朗-彼得森上同调、莫拉瓦K理论、莫拉瓦E理论等等由复配边建立的理论。
  • 各种椭圆上同调。

其中许多理论比普通上同调的信息更丰富，但更难计算。

上同调论E若满足<math>E^*(X)</math>对每个空间X都具有分次环的结构，则称E具有乘性。用谱的语言来说，有几个更精确的环谱概念，如E∞环谱，其中的积在很强的意义上是交换、结合的。

另见[编辑]

脚注[编辑]

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Hatcher 2001.
  2. ↑ Hatcher 2001，Theorem 3.5; Dold 1972，Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4.
  3. ↑ Dold 1972，Propositions IV.8.12 and V.4.11.
  4. ↑ Hatcher 2001，Theorem 3.11.
  5. ↑ 5.0 5.1 Thom 1954.
  6. ↑ Hatcher 2001，Example 3.16.
  7. ↑ Hatcher 2001，Example 3.7.
  8. ↑ Hatcher 2001，Proposition 3.38.
  9. ↑ 9.0 9.1 May 1999.
  10. ↑ Dieudonné 1989，Section IV.3.
  11. ↑ Hartshorne 1977，Section III.2.
  12. ↑ Switzer 1975，第117, 331页，Theorem 9.27; Corollary 14.36; Remarks.
  13. ↑ Are spectra really the same as cohomology theories?. MathOverflow. 
  14. ↑ Switzer 1975，7.68.

参考文献[编辑]

检索自“https://arolstar52-zhtest.hf.space/index.php?title=餘調&oldid=3309745”