法丛

在数学领域之微分几何中，法丛（normal bundle）是一个特殊的向量丛，得自一个嵌入或浸入，是切丛的补。

定义

黎曼流形

设<math>(M,g)</math>是一个黎曼流形，<math>S \subset M</math>是一个黎曼子流形。对给定的<math>p \in S</math>，一个向量<math>n \in \mathrm{T}_p M</math>定义为<math>S</math>的法向量，如果<math>g(n,v)=0</math>对所有<math>v\in \mathrm{T}_p S</math>（从而<math>n</math> 正交于<math>\mathrm{T}_p S</math>）。这样的<math>n</math>的集合<math>\mathrm{N}_p S</math>称之为<math>S</math>在<math>p</math>的法空间。

就像一个流形的切丛是由流形的所有切空间构造的，<math>S</math>的法丛的全空间<math>\mathrm{N} S</math>定义为

<math>\mathrm{N}S := \coprod_{p \in S} \mathrm{N}_p S.\,</math>

余法丛定义为法丛的对偶丛。它可以自然实现为余切丛的子丛。

一般定义

更抽象地，给定一个浸入<math>i\colon N \to M</math>（比如嵌入），我们可以定义N在M中的法丛，在每一点取M上的切丛对N的切丛的商空间。对黎曼流形我们可将商与正交补等同，但一般不可行（这样一种选取等价于投影<math>V \to V/W</math>的一个截面）。

从而法丛一般是周围空间对限制在子丛上切丛的商。

正式地，N在M中的法丛是M的切丛的一个商丛： 我们有N上向量丛的短正合序列：

<math>0 \to TN \to TM\vert_{i(N)} \to T_{M/N} := TM\vert_{i(N)} / TN \to 0</math>

这里<math>TM\vert_{i(N)}</math>是M的切丛限制在N上（准确地说，M的切丛<math>i^*TM</math>通过映射<math>i</math> 拉回到N上）。

稳定法丛

抽象流形由一个典范切丛，但没有法丛：只有当一个流形嵌入（或浸入）另一个流形时诱导了一个法丛。但是，由惠特尼嵌入定理，每个紧流形可以嵌入在<math>\mathbf{R}^N</math>中，给了这样一个嵌入，每个流形有一个法丛。

一般没有自然的嵌入方式，但对给定的M，任何两个嵌入在<math>\mathbf{R}^N</math>中，对足够大N是正则同伦的，从而诱导了相同的法丛。所得的法丛类（这是一个丛的类而不是一个特定的丛，因为N可以变）称为稳定法丛。

对偶于切丛

法丛在K-理论的意义下对偶于切丛： 由上一个短正合序列，在格罗滕迪克群中

<math>[TN] + [T_{M/N}] = [TM].\,</math>

浸入在<math>\mathbf{R}^N</math>中的情形，周围空间的法丛是平凡的（由于<math>\mathbf{R}^N</math>可缩，从而可平行化），故<math>[TN] + [T_{M/N}] = 0</math>，从而<math>[T_{M/N}] = -[TN]</math>。

这在计算示性类时有用，可用于证明一个流形可浸入和可嵌入欧几里得空间中的下界。