常层
数学中，拓扑空间X上与集合A相关联的常层（constant sheaf）是X上的集合层，其茎全部等于A，记作<math>\underline{A}</math>或<math>A_X</math>。值为A的常预层（constant presheaf）是为X的每个开子集赋A值的预层，其所有限制映射都是恒等映射<math>A\to A</math>。关联于A的常层是关联于A的常预层的层化。这个层等同于X上局部常的A-值函数的层。[1]
有时，集合A可换成某范畴<math>\textbf{C}</math>中的对象A（如<math>\textbf{C}</math>是阿贝尔群范畴或交换环范畴）。
基本情形[编辑]
设X为拓扑空间，A为集合。常层<math>\underline{A}</math>在开集U上的截面可解释为连续函数<math>U\to A</math>，其中A具有离散拓扑。若U连通，则这些局部常函数就是常的。若<math>f:X\to\{\text{pt}\}</math>是到单点空间的唯一映射，A被视作<math>\{\text{pt}\}</math>上的层，则逆像<math>f^{-1}A</math>是X上的常层<math>\underline{A}</math>。<math>\underline{A}</math>的层空间是射影映射A（其中<math>X\times A\to X</math>被赋予离散拓扑）。
详细例子[编辑]
设X是两点p、q组成的拓扑空间，具有离散拓扑。X有4个开集：<math>\varnothing, \{p\}, \{q\}, \{p,q\}</math>。图中显示了X的开集的5个非平凡包含。 X上的预层为X的每个开集选择一个集合，并为9个包含（5个非平凡，4个平凡）的每个选择一个限制映射。值为<math>\textbf{Z}</math>的常预层（将表为F）选择4个集合均为<math>\textbf{Z}</math>（整数集）、选择9个限制映射均为恒等映射。F是函子，因此也是预层，因为它是常的；其满足胶合公理，但不是层，因为在空集上局部恒等公理失效——空集被空集族覆盖：空集上F的任意两截面限制到空集族的任何集合都相等。因此，局部恒等公理意味着F在空集上的任意两截面都相等，但实际上并非如此。
类似地，在空集上满足局部恒等公理的预层G的构造如下。设<math>G(\varnothing)=0</math>，其中0是单元集。在非空集合上，为G赋值<math>\textbf{Z}</math>。对开集的每个包含，若较小的集合是空的，则G返回到0的唯一映射；否则，返回<math>\textbf{Z}</math>上的恒等映射。
注意：由于空集的局部恒等公理，所有涉及空集的限制映射都是无趣的。这适用于任何满足空集局部恒等公理的预层，尤其适用于任何层。 G是分离预层（即满足局部恒等公理），但不满足胶合公理，这与F不同。<math>\{p,q\}</math>被两开集<math>\{p\},\ \{q\}</math>覆盖，交为空。<math>\{p\}</math>或<math>\{q\}</math>上的截面是<math>\textbf{Z}</math>的元素，即是一个数。选择<math>\{p\}</math>上的截面m、<math>\{q\}</math>上的截面n，假定<math>m\neq n</math>；由于m、n在<math>\varnothing</math>上限制于同一个元素0，胶合公理要求在<math>G(\{p,q\})</math>上存在唯一截面s，其在<math>\{p\}</math>上限制到m，在<math>\{q\}</math>上限制到n。但由于<math>\{p,q\}</math>到<math>\{p\}</math>的限制映射是恒等映设，所以<math>s=m,\ s=n</math>，于是有<math>m=n</math>，自相矛盾。
<math>G(\{p,q\})</math>太小了，无法同时携带<math>\{p\}</math>、<math>\{q\}</math>的信息。设<math>H(\{p,q\})=\mathbf{Z}\otimes\mathbf{Z}</math>，就可以将其放大以满足胶合公理。令<math>\pi_1</math>、<math>\pi_2</math>为两射影映射<math>\mathbf{Z}\otimes\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}</math>；定义<math>H(\{p\})=\text{im}(\pi_1)=\mathbf{Z}</math>，<math>H(\{q\})=\text{im}(\pi_2)=\mathbf{Z}</math>。对剩下的开集和包含，令<math>H=G</math>。H是X上的常层，值为<math>\textbf{Z}</math>。由于<math>\textbf{Z}</math>是环，且所有限制映射都是环同态，所以H是交换环层。
另见[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ Does the extension by zero sheaf of the constant sheaf have some nice description?. Mathematics Stack Exchange. [2022-07-08]. （原始内容存档于2022-09-24） （English）.
- Section II.1 of Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Section 2.4.6 of Tennison, B.R., Sheaf theory, 1975, ISBN 978-0-521-20784-3