Ext函子

在同调代数中，Ext 函子是 Hom 函子的导函子。此函子首见于代数拓扑，但其应用遍布许多领域。

定义

设 <math>\mathcal{C}</math> 为有充足内射元的阿贝尔范畴，例如一个环 <math>R</math> 上的左模范畴 <math>R-\mathbf{Mod}</math>。固定一对象 <math>A</math>，定义函子 <math>T_A(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)</math>，此为左正合函子，故存在右导函子 <math>R^\bullet T_A(-)</math>，记为 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,-)</math>。当 <math>\mathcal{C}=R-\mathbf{Mod}</math> 时，常记之为 <math>\mathrm{Ext}_R^\bullet(A,-)</math>。

根据定义，取 <math>B</math> 的内射分解

<math>J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0 </math>

并取 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,-)</math>，得到

<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longleftarrow 0</math>

去掉首项 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math>，最后取上同调群，便得到 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(A,B)</math>。

另一方面，若 <math>\mathcal{C}</math> 中也有充足射影元（例如 <math>R-\mathbf{Mod}</math>），则可考虑右正合函子 <math>G_B(-) := \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)</math> 及其左导函子 <math>L_\bullet G_B(-)</math>，可证明存在自然同构 <math>L_\bullet G_B(A) = \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)</math>。换言之，对 <math>A</math> 取射影分解：

<math>P(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0</math>

并取 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(-,B)</math>，得到

<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(P(A), B) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B) \longrightarrow 0</math>

去掉尾项 <math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(A,B)</math>，其同调群同构于 <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A,B)</math>。

基本性质

• 若 <math>A</math> 是射影对象或 <math>B</math> 是内射对象，则对所有 <math>i>0</math> 有 <math>\mathrm{Ext}^i_\mathcal{C}(A,B) = 0</math>。
• 反之，若 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,-)=0</math>，则 <math>A</math> 是射影对象。若 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(-,B)=0</math>，则 <math>B</math> 是内射对象。
• <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(\bigoplus_i A_i, B) = \coprod_i \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A_i, B)</math>
• <math>\mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, \prod_j B_j) = \prod_j \mathrm{Ext}^\bullet_\mathcal{C}(A, B_j)</math>
• 根据导函子性质，对每个短正合序列 <math>0 \to B' \to B \to B \to 0</math>，有长正合序列：

<math>\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B') \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B) \to \cdots</math>

• 承上，若 <math>\mathcal{C}</math> 有充足的射影元，则对第一个变数也有长正合序列；换言之，对每个短正合序列 <math> 0 \to A' \to A \to A \to 0</math>，有长正合序列

<math>\cdots \to \mathrm{Ext}^{n-1}_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A, B) \to \mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A', B) \to \mathrm{Ext}^{n+1}_\mathcal{C}(A, B) \to \cdots</math>

谱序列

今设 <math>A,B</math> 为含单位元的环，并固定一环同态 <math>A \to B</math>。则由双函子的自然同构

<math>\mathrm{Hom}_B(-, \mathrm{Hom}_A(B,-)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, -)</math>

导出格罗滕迪克谱序列：对每个 <math>B</math>-模 <math>M</math> 及 <math>A</math>-模 <math>N</math>，有谱序列

<math>E_2^{pq} = \mathrm{Ext}_B^p(M, \mathrm{Ext}^q_A(B, N)) \Rightarrow \mathrm{Ext}_A^{p+q}(M, N)</math>

这个关系称为换底。

Ext函子与扩张

Ext 函子得名于它与群扩张的联系。抽象地说，给定两个对象 <math>A, B \in \mathcal{C}</math>，在扩张

<math>0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0</math>

的等价类与 <math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^1(A,B)</math> 之间有一一对应，下将详述。

对任两个扩张

<math>0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0</math> 与

<math>0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0</math>

可以构造其 Baer 和 为 <math>0 \rightarrow B \rightarrow C \times_A C' / \Delta \rightarrow A \rightarrow 0</math>，其中 <math>\Delta := (1,-1)(C \sqcup_B C')</math>（反对角线）。这在等价类上构成一个群运算，可证明此群自然地同构于 <math>\mathrm{Ext}^1_\mathcal{C}(A,B)</math>。

对更高阶的扩张，同样可定义等价类；对任两个 n-扩张（n>1）

<math>0\rightarrow B\rightarrow X_n\rightarrow\cdots\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0</math> 与

<math>0\rightarrow B\rightarrow X'_n\rightarrow\cdots\rightarrow X'_1\rightarrow A\rightarrow 0</math>

此时的 Baer 和定为

<math>0 \rightarrow B \rightarrow Y_n\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow X_2\oplus X'_2\rightarrow X_1\rightarrow A\rightarrow 0 </math>

其中 <math>A := X_1 \times_A X_1'/\Delta_1</math>（反对角线 <math>\Delta_1</math> 之定义同上），<math>Y_n := X_n \sqcup_B X_n'</math>。这也在 n-扩张的等价类上构成一个群运算，此群自然同构于 <math>\mathrm{Ext}^n_\mathcal{C}(A,B)</math>。借此，能在任何阿贝尔范畴上定义 Ext 函子。

重要例子

• 设 <math>G</math> 为群，取环 <math>R :=\Z G</math>，可以得到群上同调：<math>\mathrm{Ext}_{\Z G}^\bullet (\Z, M ) = H^\bullet(G,M)</math>。
• 设 <math>\mathcal{C}</math> 为局部赋环空间 <math>X</math> 上的 <math>\mathcal{O}_X</math>-模范畴，可以得到层上同调：<math>\mathrm{Ext}_\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{O}_X, \mathcal{F}) = H^\bullet(X, \mathcal{F})</math>。
• 设 <math>\mathfrak{g}</math> 为李代数，取环 <math>R := U(\mathfrak{g})</math> 为其泛包络代数，可以得到李代数上同调：<math>\mathrm{Ext}_R^\bullet(R, M) = H^\bullet(\mathfrak{g}, M)</math>。
• 设 <math>k</math> 为域，<math>A</math> 为 <math>k</math>-代数，取环 <math>R := A \times A^\mathrm{op}</math>，<math>A</math> 带有自然的 <math>R</math>-模结构，此时得到 Hochschild 上同调：<math>\mathrm{Ext}^\bullet_R(A, M) = HH^\bullet(A, M)</math>。

文献

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1