模

File:Disambig gray.svg此条目的主题是抽象代数中的概念。关于“模”的其他含义，请见“模 (消歧义)”。

在数学的抽象代数中，环上的模（英语：module）是对域上的向量空间的推广，这里不再要求向量空间里的标量的代数结构是域，进而放宽标量可以是环。模同时也是交换群的推广，因为交换群与整数环上的模相同。

因此，模同向量空间一样是加法交换群；在环元素和模元素之间定义了乘积运算，并且环元素和模元素的乘积是符合结合律的和分配律的。

模与群的表示论密切相关。模也是交换代数和同调代数的中心概念，并广泛地应用于代数几何和代数拓扑中。

定义

假设 <math>R</math> 是环(ring)且 <math>1_R \in R</math>， <math>1_R</math> 是其乘法运算的单位元。左R-模包括一个交换群 <math>(M, +)</math> ，以及一个映射(或运算)

<math>\cdot : R \times M \rightarrow M</math>

(该运算叫做标量乘法或数积，对 <math>r \in R</math> 及 <math>x \in M</math> ，此运算的值 <math>\cdot (r, x)</math> 会记作 <math>rx</math> 或是 <math>r \cdot x</math>) ，并且满足以下条件

对所有 <math>r, s \in R</math> ， <math>x, y \in M</math>

1. <math> ( r \cdot s ) \cdot x = r \cdot ( s \cdot x ) </math>
2. <math> r \cdot ( x + y ) = r \cdot x + r \cdot y </math>
3. <math> ( r + s ) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x </math>
4. <math> 1_R \cdot x = x .</math>

有数学家的左模定义并不要求环有单位乘法元素 <math>1_R</math> ，所以他们的定义只含以上前三个条件而排除了第四个条件，并把以上的定义称为"带单位元( <math>1_R</math> )的左模"。

左R-模 <math>M</math> 记作 <math>_RM</math> ，类似的右R-模 <math>M</math> 记作 <math>M_R</math> 。

右R-模 <math>M</math> 或 <math>M_R</math> 与左R-模的定义相似，只是环的元素在右边，即其标量乘法是 <math>\cdot : M \times R \rightarrow M</math> 。在左R-模的定义中，环的元素 <math>r</math> 和 <math>s</math> 是在 <math>M</math> 的元素 <math>x</math> 的左边。若 <math>R</math> 是可交换环，则左R-模与右R-模是一样的，简称为R-模。

若 <math>R</math> 是一个域，则根据上述定义，R-模满足R-向量空间的定义。因此模是向量空间的推广，有很多与向量间相同的性质，但一般模不存在基底。

例子

• 所有交换群 <math>M</math> 是一个在整数环 <math>\mathbb{Z}</math> 上的模，对 <math>n \in \mathbb{Z}</math> 及 <math>x \in M</math>，如果 <math>n > 0</math> ，其标量乘法定义为是 <math>nx = x + x + \dots + x</math> （ <math>n</math> 个 <math>x</math> 相加），如果 <math>n = 0</math> ， <math>0x = x</math> ，对 <math>n < 0</math> ， <math>(-n)x = -(nx)</math> 。
• 若 <math>R</math> 是一个环而 <math>n</math> 是一个自然数，则 <math>R^n</math> 是一个R-模。
• 若 <math>X</math> 是一个光滑流形，则所有由 <math>X</math> 映射至实数的光滑函数 <math>C^\infty(X)</math> 是一个环 <math>R</math> 。在 <math>X</math> 上的所有向量场组成一个R-模。
• 所有 <math>n \times n</math> 实数矩阵 <math>A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})</math> 与矩阵加法和矩阵乘法组成一个环 <math>R</math> 。 欧几里得空间 <math>\mathbb{R}^n</math> 是一个左R-模，当中矩阵 <math>A</math> 与向量 <math>v \in \mathbb{R}^n</math> 之间的标量乘法就是矩阵乘法 <math>Av</math> 。
• 若 <math>R</math> 是一个环而 <math>I</math> 是其中一个 左理想 ，则 <math>I</math> 是一个左R-模。

子模及同态

假设 <math>M</math> 是左 <math>R</math> -模， <math>N</math> 是 <math>M</math> 的子集。如果对于所有 <math>n \in N</math> 及 <math>r \in R</math> ，乘积 <math>rn \in N</math> （对右模，则考虑 <math>nr</math> ），则 <math>N</math> 是 <math>_RM</math> 的子模（或更准确地，R-子集）。

令 <math>M</math> 和 <math>N</math> 为两个左R-模， <math>f</math> 为它们之间的一个映射， <math>f: M \rightarrow N</math>。若对所有 <math>m, n \in M</math> 及 <math>r, s \in R</math> ， <math>f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)</math> ，则<math>f</math> 为R-模同态。与其他类型的同态一样，模同态保存了模的结构。

其他定义及表达法

若M是左R-模，则一个R中元素r之作用定义为映射M → M，它将每个x映至rx（或者在右模的情况是xr），这必然是阿贝尔群（M,+）的群自同态。全域M的自同态记作End_Z(M)，它在加法与合成下构成一环，而将R的元素r映至其作用则给出从R至End_Z(M)之同态。

如此的环同态R → End_Z(M)称作R在阿贝尔群M上的一个表示。左R-模的另一种等价定义是：一个阿贝尔群M配上一个R的表示。

一个表示称作忠实的，当且仅当R → End_Z(M)是单射。以模论术语来说，这意谓若r是R的元素，且使得对所有M中的x都有rx=0，则r=0。任意阿贝尔群皆可表成整数环Z或其某一商环Z/nZ的忠实表示。