上积

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代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环<math>H^*(X)</math>，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。

定义[编辑]

奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环<math>H^*(X)</math>上的积。

构造始于上链之积：若<math>\alpha^p</math>是p上链，且<math>\beta^q</math>是q上链，则

<math>(\alpha^p \smile \beta^q)(\sigma) = \alpha^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot \beta^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>

其中σ是奇异<math> (p + q)</math>-单纯形，<math> S \subset \{0,1,...,p+q \} </math>, <math> \iota_S </math> 是S张成的单纯形规范嵌入<math>(p+q)</math>-单纯形，后者的顶点索引为<math>\{0,...,p+q \}</math>。

非正式地，<math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>是σ的第p个正面（front face），<math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>是σ的第q个背面（back face）。

上链<math>\alpha^p</math>与<math>\beta^q</math>的上积的上边缘（coboundary）为

<math>\delta(\alpha^p \smile \beta^q) = \delta{\alpha^p} \smile \beta^q + (-1)^p(\alpha^p \smile \delta{\beta^q}).</math>

两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算

<math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). </math>

性质[编辑]

上同调中的上积满足以下特性

<math>\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p)</math>

因此相应的乘法是分次交换的。

上积的函子性体现在以下方面：若

<math>f\colon X\to Y</math>

是连续函数，

<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math>

是上同调中的诱导同态，则

<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>

对<math>H^*(Y)</math>中所有类α、β。也就是说，f *是（分次）环同态。

解释[编辑]

可将上积<math> \smile \colon H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X)</math>视作由下面的组合诱导而来：

<math> \displaystyle C^\bullet(X) \times C^\bullet(X) \to C^\bullet(X \times X) \overset{\Delta^*}{\to} C^\bullet(X) </math>

以<math>X</math>与<math>X \times X</math>的链复形表示，其中第一个映射是克奈映射，第二个映射由对角<math> \Delta \colon X \to X \times X</math>诱导。

这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积：<math> \Delta \colon X \to X \times X</math>诱导了映射<math>\Delta^* \colon H^\bullet(X \times X) \to H^\bullet(X)</math>，但还会诱导映射<math>\Delta_* \colon H_\bullet(X) \to H_\bullet(X \times X)</math>，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义下积时是有用的。

上积的这种表达体现了双线性，即<math> (u_1 + u_2) \smile v = u_1 \smile v + u_2 \smile v </math>；<math> u \smile (v_1 + v_2) = u \smile v_1 + u \smile v_2. </math>

例子[编辑]

上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间<math>X:= S^2\vee S^1\vee S^1</math>与环面T具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在X的情况下，与 <math>S^1</math>相关的上链的乘法是退化的；而在T中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于Z（更一般地说是M，此处是基模）。

其他定义[编辑]

上积与微分形式[编辑]

在德拉姆上同调中，微分形式的上积由楔积导出。即，两个闭微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。

上积与几何相交[编辑]

File:Linking Number 1.svg
环绕数可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在 <math>\mathbb{R}^3</math>变形中的补退化为环面和2球的楔和，其有度为1、不为零的上积。

对于定向流形，有几何启发式，即“上积与相交是对偶的”。[1][2]

令<math>M</math>为<math>n</math>维定向光滑流形。若两个余维分别是i、j的子流形<math>A,B</math>横截着交，那么它们的交<math>A \cap B</math>又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是庞加莱对偶的，即取庞加莱对<math>[A]^*, [B]^* \in H^{i},H^{j}</math>则有以下等式：

<math>[A]^* \smile [B]^*=[A \cap B]^* \in H^{i+j}(X, \mathbb Z)</math>.[1]

同样，环绕数也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。

梅西积[编辑]

File:BorromeanRings.svg
梅西积推广了上积，允许定义“高阶环绕数“，即米尔诺不变量。
主条目：梅西积

上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作梅西积，是上积的推广。它是一种高阶上同调运算，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Hutchings, Michael. Cup Product and Intersections (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2023-03-08）. 
  2. ^ Ciencias TV, Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), 2016-12-10 [2018-04-26], （原始内容存档于2021-12-21） 
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