同伦

File:HomotopySmall.gif

图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。

同伦（英语：Homotopic）在数学和拓扑学上描述了两个对象间的“连续变化”。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群和上同伦群的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱。

定义

File:Mug and Torus morph.gif

两个将环面映射到R³的嵌入之间的同伦：“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。

给定两个拓扑空间 <math>X \,\!</math> 和 <math>Y \,\!</math>。考虑两个连续函数 <math>f , \, g \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math>，若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射 <math>H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!</math> 使得：

• <math>\forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!</math>
• <math>\forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!</math>

则称<math>H</math>是 <math>f, \,g</math>之间的一个同伦。

如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。

另一种观点是：对每个<math>x \in X \,\!</math>，函数 <math>H \,\!</math> 定义一条连接 <math>f(x) \,\!</math> 与 <math>g(x) \,\!</math>的路径：

<math>\gamma_x \, : \, [0,1] \rightarrow Y, \, t \mapsto H(x,t) \,\!</math>

右侧的循环动画展示了两个嵌入R³中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R³。f，g 是从环面到 R³的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了h_t(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

性质

当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 f₁, g₁ : X → Y 是同伦的，并且 f₂, g₂ : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f₂ ∘ f₁ 与 g₂ ∘ g₁ : X → Z 也是同伦的。

例子

例一：取 <math>X = \R \,\!</math>, <math>Y = \R \,\!</math>, <math>f(x) = 1 \,\!</math> 及 <math>g(x) = -1 \,\!</math>。则<math>f \,\!</math> 与 <math>g \,\!</math> 透过下述函数在 <math>Y \,\!</math> 中同伦。

<math>H(x,t) = 1 - 2t \,\!</math>

（注意到此例子不依赖于变量 <math>x</math>，通常并非如此。）

注：“在<math>Y</math>中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将<math>Y = \R \,\! </math>代为子空间<math>Y' = \R^* \,\!</math>，则虽然<math>f \,\!</math> 与 <math>g \,\!</math>仍取值在<math>Y' \,\!</math>，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。

例二：取<math>X = [0,1] \,\!</math>,<math>Y = \mathbb{C} \,\!</math>,<math>f(x) = e^{2i \pi x} \,\!</math> 及 <math>g(x) = 0 \,\!</math>。则<math>f \,\!</math>描绘一个以原点为圆心的单位圆； <math>g \,\!</math>停在原点。<math>f \,\!</math> 与 <math>g \,\!</math> 透过下述连续函数同伦：

<math>H(x,t) = (1-t)e^{2i \pi x} \,\!</math>

几何上来看，对每个值<math>t \,\!</math>，函数<math>h_t(x)=H(x,t) \,\!</math>描绘一个以原点为圆心，半径 <math>1-t</math> 的圆。

相对同伦

为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设<math>f,g: X \rightarrow Y</math>是连续函数，固定子空间 <math>K \subset X</math>；若存在前述同伦映射 <math>H: X \times [0,1] \rightarrow Y</math>，满足：

• <math>H(x,0) = f(x), H(x,1) = g(x)</math>
• <math>\forall k \in K \; H(k,t) = f(k) = g(k)</math>

则称 <math>f, g</math> 相对于 <math>K</math> 同伦。若取 <math>K=\emptyset</math>，则回到原先的同伦定义。

空间的同伦等价

给定两个拓扑空间<math>E \,\!</math> 与 <math>F \,\!</math>，我们称之同伦等价（或称具相同伦型），当且仅当存在两个连续映射<math>f \, : \, E \rightarrow F \,\!</math>与<math>g \, : \, F \rightarrow E \,\!</math>，使得：

• <math>g \circ f \,\!</math> 同伦到 <math>E \,\!</math> 的恒等映射 <math>\mathrm{id}_E</math>。
• <math>f \circ g \,\!</math> 同伦到 <math>F \,\!</math> 的恒等映射 <math>\mathrm{id}_F</math>。

同胚蕴含同伦，反之则不然，详见以下例子：

例三：

• 一个平面上的圆或椭圆同伦等价到<math>\mathbb{C}^* \,\!</math>，即去掉一点的平面。
• 线段<math>[a,b] \,\!</math>、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。

同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括有：单连通、同调群及上同调群等等。

同痕

同痕（Isotopy）是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数<math>f \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 和 <math>g \, : \, X \rightarrow Y \,\!</math> 是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入映射相连。

定义如此：<math>f \,\!</math> 与 <math>g \,\!</math>被称为同痕的，当且仅当存在连续映射<math>H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!</math>使之满足：

• <math>\forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!</math>
• <math>\forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!</math>
• 对所有<math>t \in [0,1] \,\!</math>，映射<math>h_t(x) = H(x,t) \,\!</math>是个嵌入映射。

同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。

参见

• Homeotopy
• 庞加莱猜想
• 同伦范畴
• 同伦类型论
• 纤维-同伦等价
• 映射类群
• 正则同伦