Tor函子
在交换代数中，Tor 函子是张量积的导函子。此函子起初是为了表述代数拓扑中的 Künneth 定理与普遍系数定理而定义。
定义[编辑]
设 <math>R</math> 为环。令 <math>R-\mathbf{Mod}</math> 为左 <math>R</math>-模范畴、 <math>\mathbf{Mod}-R</math> 为右 <math>R</math>-模范畴（若 <math>R</math> 为交换环，则两者等价）。固定一对象 <math>B \in R-\mathbf{Mod}</math>，考虑函子
- <math>T_B(-) := - \otimes_R B</math>
这是从 <math>\mathbf{Mod}-R</math> 至阿贝尔群范畴 <math>\mathbf{Ab}</math> 的右正合函子（若 <math>R</math> 为交换环，则它是映至 <math>R-\mathbf{Mod}</math> 的右正合函子），因此能考虑其左导函子 <math>L_\bullet T_B</math>，记为 <math>\mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)</math>。
换言之，对任一左 <math>R</math>-模 <math>A</math> 取射影分解
- <math>\cdots\rightarrow P_3 \rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow A\rightarrow 0</math>
去掉尾项 <math>A</math>，并对 <math>B</math> 取张量积，得到链复形
- <math>\cdots \rightarrow P_3\otimes B \rightarrow P_2\otimes B \rightarrow P_1\otimes B \rightarrow 0</math>
并取其同调群，则得到 <math>\mathrm{Tor}_\bullet^R(-,B)</math>
此外，Tor 函子也能以 <math>A \otimes_R -</math> 的左导函子定义，两种定义给出自然同构的函子。
性质[编辑]
- Tor 函子与直和交换：
- <math>\mathrm{Tor}_n^R(\bigoplus_i A_i, \bigoplus_j B_j) \simeq \bigoplus_i \bigoplus_j \mathrm{Tor}_n^R(A_i,B_j)</math>
- 对任何 <math>n \geq 1</math>，<math>\mathrm{Tor}_n^R</math> 是从 <math>(\mathbf{Mod}-R) \times (R-\mathbf{Mod})</math> 到 <math>\mathbf{Ab}</math> 的加法函子。若 <math>R</math> 是交换环，则它是从 <math>(R-\mathbf{Mod}) \times (R-\mathbf{Mod})</math> 到 <math>R-\mathbf{Mod}</math> 的加法函子。
- 依据导函子性质，每个短正合序列 <math>0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0</math> 导出长正合序列：
- <math>\cdots\rightarrow\mathrm{Tor}_{n+1}^R (M,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (K,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_n^R (L,B) \rightarrow\mathrm{Tor}_n^R (M,B)\rightarrow \mathrm{Tor}_{n-1}^R(K,B) \rightarrow \cdots</math>
- 对第二个变数亦同。
- 若 <math>R</math> 为交换环，<math>r \in R</math> 非零因子，则
- <math>\mathrm{Tor}_1^R(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}</math>
- 这是 Tor 函子的词源。
- 由于阿贝尔群皆有长度不超过二的自由分解（因为自由阿贝尔群的子群皆为自由的），此时对所有 <math>n \geq 2</math>，有 <math>\mathrm{Tor}_n^\Z(-,-) = 0</math>。
谱序列[编辑]
设 <math>A, B</math> 为交换环，<math>M</math> 为 <math>B</math>-模，并固定一个环同态 <math>A \to B</math>。我们有双函子的自然同构：
- <math>(- \otimes_A B) \otimes_B M = - \otimes_A M</math>
由此导出格罗滕迪克谱序列：对任何 <math>A</math>-模 <math>N</math>，有谱序列
- <math>E^2_{pq} = \mathrm{Tor}_p^B(\mathrm{Tor}_q^A (N,B), M) \Rightarrow \mathrm{Tor}_{p+q}^A(N, M) </math>
与平坦模的关系[编辑]
一个右 <math>R</math>-模是平坦模的充要条件是 <math>\mathrm{Tor}_1^R(M,-)=0</math>。此时可推出 <math>\forall n \geq 1, \; \mathrm{Tor}_n^R(M,-)=0</math>。左 <math>R</math>-模的情况准此可知。事实上，计算 Tor 函子时可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必为平坦分解，反之则不然；平坦分解在技术上较富弹性。
文献[编辑]
- Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1