闭集
在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。在一个拓扑空间内，闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中，一个闭集的极限运算是闭合的。不要混淆于闭流形。
闭集等价的定义[编辑]
在一个任意的拓扑空间<math>(X,\mathcal{T})</math>内，一个集合<math>C</math>是闭集当且仅当它与它的闭包<math>\bar{C}</math>相同。等价地，一个集合<math>C</math>是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点；也就是，<math>C'\subseteq C</math>。
性质[编辑]
闭集包含其自身的边界。换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。
任意多个闭集的交集是闭集；有限多个闭集的并集是闭集。特别的，空集和全空间是闭集。
交集的性质也被用来定义空间<math>X</math>上的集合<math>A</math>的闭包，即<math>X</math>的闭合子集中最小的<math>A</math>的父集。特别的，<math>A</math>的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。
例子[编辑]
- 区间<math>[a,b]</math>在实数上是闭集。（方括号、圆括号的集合符号，参见区间文中的解释。）
- 单位区间<math>[0,1]</math>在实数<math>\mathbb{R}</math>的度量空间中是闭集。而集合<math>[0,1]\cap \mathbb{Q}</math>在有理数<math>\mathbb{Q}</math>上是闭集，但在实数<math>\mathbb{R}</math>上并不是闭集。
- 有些集合既不是开集也不是闭集，如实数<math>\mathbb{R}</math>上的半开区间<math>[0,1)</math>。
- 有些集合既是开集也是闭集叫做闭开集，最简单的例子就是空集合以及拓朴空间本身。
- 半区间<math>[1,\infty)</math>在实数<math>\mathbb{R}</math>上是闭集。
- 康托尔集是一个独特的闭集，它包含所有边界点，并且没有一处是稠密的。
- 仅包含一个点的集合（显然它是有限集）在豪斯多夫空间内是闭集。
- 如果<math>X</math>和<math>Y</math>是拓扑空间，而<math>f</math>是一个从<math>X</math>到<math>Y</math>的连续函数当且仅当<math>Y</math>中任意的闭集<math>C</math>的原像<math>f^{-1}(C)</math>在<math>X</math>中也是闭集。
细说[编辑]
上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。
另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间<math>X</math>上的子集<math>A</math>是闭合的，当且仅当<math>A</math>的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于<math>A</math>。这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。注意，这一表述仍然依赖背景空间<math>X</math>，因为序列是否在<math>X</math>中收敛依赖于<math>X</math>中的点。
集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说，将紧致的豪斯多夫空间<math>K</math>放在任意豪斯多夫空间<math>X</math>中，<math>K</math>总是<math>X</math>的一个闭合子集；这和“背景空间”没有关系。实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。