商环
| 环论 |
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定义[编辑]
设<math>R</math>为一环，<math>I \subset R</math>为一双边理想。定义下述等价关系
- <math>x \sim y \iff x-y \in I</math>
令<math>R/I</math>为其等价类的集合，其中的元素记作<math>a + I</math>，其中<math>a</math>是该元素在<math>R</math>上任一代表元。我们可以在<math>R/I</math>上定义环结构：
- <math>(a+I) +(b+I) =(a+b) + I </math>
- <math>(a+I) \cdot(b+I) = ab + I </math>
以上运算是明确定义的（在第二式中须用到<math>I</math>是双边理想）。集合<math>R/I</math>配合上述运算称作<math>R</math>对<math>I</math>的商环。根据定义，商映射<math>R \rightarrow R/I, a \mapsto a+I</math>是满的环同态，<math> I </math>为此同态的核。
如果<math>R</math>含单位元<math>1</math>，则<math>1+I</math>是<math>R/I</math>的单位元。
注：若条件弱化为<math>I</math>是左（或右）理想，上述两式仍可赋予集合<math>R/I</math>左（或右）<math>R</math>-模结构。
例子[编辑]
- 最平凡的例子是<math>I=(0), I=R</math>，此时分别得到<math>R/(0)=R, R/R=(0)</math>。
- 取<math>R = \mathbb{Z}, I = n\mathbb{Z}</math>，商环<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>可视为模运算的代数框架，其中的元素即模<math>n</math>的剩余类。
- 商环是构造代数扩张的主要工具。例如取实系数多项式环<math>R = \mathbb{R}[X]</math>，<math>I =(X^2+1)\mathbb{R}[X]</math>，则商环<math>\mathbb{R}[X]/(X^2+1)</math>与复数域<math>\mathbb{C}</math>同构（考虑映射<math>f (X) +(X^2+1) \mapsto f (i)</math>）。一般而言，设<math>F</math>为一个域，<math>p (X) \in F[X]</math>为<math>F</math>上的不可约多项式，则商环<math>F[X]/p (X)</math>的意义在于抽象地在<math>F</math>上加进<math>p (X)</math>的一个根。
性质[编辑]
商环由下述泛性质唯一决定（至多差一个同构）：
- 设<math>\pi: R \rightarrow R/I</math>为商同态；对任何环同态<math>\phi: R \rightarrow S</math>，若 <math>\mathrm{Ker}(\phi) \supset I</math>，则存在唯一的同态<math>\psi: R/I \rightarrow S </math>，使得<math>\psi \circ \pi = \phi</math>。
事实上，若更设<math>\mathrm{Ker}(\phi)=(0)</math>，则<math>\psi: R/I \rightarrow S</math>是单射。准此，<math>R</math>的同态像无非是<math>R</math>的商环。
理想的性质常与其商环相关，例如当<math>R</math>是交换含幺环时，<math>I</math>是素理想（或极大理想）当且仅当<math>R/I</math>是整环（或域）；<math>R</math>中包含<math>I</math>的理想一一对应于<math>R/I</math>中的所有理想，此对应由商映射的逆像给出。
文献[编辑]
- Serge Lang, Algebra（2002）, Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X