陈类

数学上，特别是在代数拓扑和微分几何中，陈类（英语：Chern class，或称陈氏类）是一类复向量丛的示性类，类比于斯蒂弗尔-惠特尼类作为实向量丛的示性类。

陈类因陈省身而得名，他在1940年代第一个给出了它们的一般定义。

定义

给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E, E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为c_k(E),是X的整数系数的上同调群H^2k(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理:

公理1. 对于任何<math>E,\ c_0(E) =1 \in H^0(X; \mathbb{Z})</math>

公理2. 自然性：如果<math> E\to X</math>是一个复向量丛，<math>f: Y \to X </math>是一个连续映射，<math> f^*E\to Y</math>是拉回的向量丛，那么对任意k，<math> c_k(f^*E)=f^*(c_k(E))\in H^{2k}(Y; {\mathbb Z})</math>

公理3. 惠特尼求和公式：如果<math> E_1, E_2\to X</math>是两个复向量丛，那么它们的直和<math>E_1\oplus E_2</math>的陈类是

<math>c_k(E_1\oplus E_2)= \sum_{i=0}^k c_i(E_1)\cup c_{k-i} (E_2)</math>

公理4. 如果<math>H \to {\mathbb P}^1 </math>是复射影直线上的超平面丛，那么<math>c_1(H)</math>的庞加莱对偶是<math> 1\in H_0({\mathbb P}^1; {\mathbb Z})</math>

陈数

任何陈类的积分是一个整数，叫陈数，有时候给卷绕数。

在物理学中，陈数有很多应用。例如第一陈数

<math>\phi = \int c_1 </math>

<math>e^{i\phi / \hbar} </math>

描述阿哈罗诺夫－玻姆效应。第二陈数描述一种流形边界的陈-西蒙斯理论：

<math>\int_M c_2 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_M dCS_3 = \frac{1}{2}(\frac{i}{2\pi})^2 \int_{\partial M} CS_3 </math>

在物理学中，这有时候被叫做theta term，描述Witten效应、瞬子（第三同伦类）、轴子、Dyon等等。

<math>S(A) = YM + \theta \int_M c_2 </math>

其中的YM是杨-米尔斯的作用量。

陈-西蒙斯理论

陈-西蒙斯形式跟陈类有关：

<math>c_{k} = \frac{1}{k!}(\frac{i}{2\pi})^k tr(F^k) = \frac{1}{k!}(\frac{i}{2\pi})^k dCS_{2k+1}</math>

陈示性

若F是曲率形式，陈示性是

<math>ch(V) = [ tr(\exp(iF / (2\pi)) ]</math>

而且

<math>ch(V \oplus W) = ch(V) + ch(W)</math>

<math>ch(V \otimes W) = ch(V) \ ch(W)</math>

比方说，若V是U(1)主丛（阿贝尔规范）

<math>ch(V) = \exp(c_1(V)) </math>

等价定义

同时，有很多处理这个定义的办法：陈省身最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把E和一个分类空间（在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射）；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。

殆复流形的陈类和配边

陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。

若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的。

若M′是另一个同维度的近复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.

推广

陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个形式化群法则（formal group law）。

应用

• 拓扑K-理论
• 陈－韦伊同态

物理学

• 阿哈罗诺夫－玻姆效应
• 轴子
• 杨-米尔斯理论
• 瞬子
• 拓扑量子场论

参考文献

• Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1946, 47: 85–121, ISSN 0003-486X, MR0015793 
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
• Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.