除法
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除法（英语、法语：division）是四则运算之一。除法运算的本质，就是“重复减法的简化表达”。
例如：<math>{ {6}\div {3} } = 2 </math>，就好像<math>{ {{ {6}3} }{3} } = 0 </math>， <math> \begin{cases} 6-3 = 3 \\ 3-3 = 0 \end{cases} </math>，<math>6</math>被<math>3</math>减了两次后，就变成了<math>0</math>。
如果
- <math>a \times b = c </math>
- <math>a = c \div b </math>
其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。
如果除式的商数（<math>a</math>）必须是整数，则称为带余除法，<math>a \times b</math>与<math>c</math>相差的数值，称为余数（<math>d</math>）。
- <math>c \div b = a \dots d</math>
这也意味着
- <math>c = a \times b + d</math>
在高等数学、科学、工程学和计算机编程语言中，<math>c \div b</math>写成<math>c/b</math>。如果我们毋需知晓确切值，或者留待以后引用，这种形式也常称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为<math>\operatorname{div}</math>，寻找余数（即模除）的函数则为<math>\operatorname{mod}</math>。
在代数结构范畴中，除法运算存在两种基本形式，对应不同的数学结构定义：
- 带余除法（欧几里得除法）：若代数结构中定义了带余除法（即存在商和余数，且余数的范数严格小于除数的范数），则该结构称为欧几里得整环。例如，一元多项式环（系数取自域）在其多项式次数构成的范数下构成欧几里得整环。
- 无余除法：若代数结构中所有非零元素均可逆（即对任意非零元素 <math>a</math>，存在 <math>b</math> 使得 <math>ab=ba=1</math>），则该结构称为域；若仅满足乘法可逆性（不要求交换性），则称为除环。例如，复数是域，而四元数是除环。
引言[编辑]
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：
- 将500克糖果均分给8人：由<math>\dfrac{500}{8} = 62{{.}}5</math>可得，每人获得62.5克糖果（无余除法）
- 500克奶粉，按70克/份分配：由<math>\dfrac{500}{70} = 7{{.}}14\ldots </math>可得，可完整分配7份，余量≈0.14份（带余除法）
其次，数学和物理存在许多“比例关系反演”：
- 已知某物体重力 <math>P=m\times g </math> ，可得质量 <math>m=P/g </math>；
- 已知匀速直线运动状态下，某物体行进距离 <math>d=v\times t</math> ，可得时间 <math>t=d/v</math>；
- 对一般仿射关系 <math>y=ax+b</math> ，其逆映射为 <math>x=(y-b)/a</math>；
- 当函数局部可线性化时（如泰勒展开一阶近似）：<math>y=f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\times(x-x_0)</math> ，
- 可构造逆函数近似解：<math>x \simeq x_0 + \frac{f(x) - f(x_0)}{f'(x_0)}</math>；<math>f^{-1}(y) \simeq x_0 + \frac{y - f(x_0)}{f'(x_0)}</math>；
- 此乃牛顿迭代法求根的理论基础：<math>f^{-1}(0) \simeq x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}</math>。
可见，在数学，尤其是在基本算术中，除法可视为“乘法的反运算”，也可理解为“重复的减法”。
定义[编辑]
基本定义[编辑]
首先，我们来定义整数间的带余除法。这一运算的核心，是将被除数表示为“除数的整数倍+余数”的形式，且余数需满足特定条件。
具体而言，对于任意整数 <math>a</math> 和非零整数 <math>b</math>，存在唯一的整数 <math>q</math>（商）和 <math>r</math>（余数），使得：
- <math>a=b\times q+r</math> 且 <math>0\leq r<|b| </math>
其中，余数 <math>r</math> 的非负性及小于除数绝对值的性质确保了分解的唯一性。
该定义是数论中整除、同余等概念的基础，并广泛用于模运算、辗转相除法等算法中。
带余除法的概念，已能凸显除零问题的本质：如何将一个量分成0份？显然，这没有实际意义。
随后，我们引入十进制数的概念，并通过递归处理余数的方式扩展计算过程，由此便有了有理数的定义体系。至于实数，则在有理数基础上拓展而成。
此时可以设想，将整体划分为更小的单位份额，从而实现分数除法：将一个量除以 <math>0.1</math>（即<math>1/10</math>），意味着初始量相当于<math>1/10</math>个单位份额，进而求出完整单位的大小；而将一个量除以负数，则相当于计算需要移除的单位份额规模。
无理数无法直观理解为具体数量，但可视为一种比——例如正方形对角线与边长之比，或圆周长与其直径之比。至此，除法运算不再能单纯定义为“划分”，而应理解为乘法逆运算。
基于此定义，除以零仍无意义。由于零乘任何数都得零（<math>0\times a =0</math>），零便有无穷多个乘法逆元。我们亦可从极限角度理解该问题——因为除以某数等价于乘以其倒数，故可将原问题转化为函数<math>f(x)=1/x</math>在零点处极限的操作：当 <math>x</math> 从左侧趋近于零时，极限为<math>-\infty </math>，从右侧趋近时，则为<math>+\infty</math>。
即便通过引入广义实数集（即在实数轴上添加<math>-\infty </math>和<math>+\infty</math>这两个“伪无穷大”）来扩展数系，问题仍未解决，因为极限值的符号不确定性依然存在。由此可见，除法在代数与数分中具有根本性意义。
其它定义[编辑]
环论中的除法定义[编辑]
设 <math>(A,+,\times)</math> 为整环，则 <math>A</math> 上的除法运算定义为满足以下条件的二元关系：
- 运算规则：对于任意 <math>a,\,b,\,c\in A</math> ，<math>a \div b = c</math> ，当且仅当 <math> b \times c = a</math>（其中 <math>b \neq 0</math>）；
- 唯一性：整环的乘法消去律保证除法结果唯一（若 <math>b \times c_1 = a</math> 且 <math>b \times c_2 = a</math>，则 <math>c_1 = c_2</math>）；
- 定义域限制：除法仅在 <math>\mathrm{A} \times (\mathrm{A}-\{0\})</math> 上有定义，即除数不能为零。
从整环到域的扩展[编辑]
若 A 为交换环，可通过等价关系扩展除法：
- 定义等价关系<math>\sim</math>：<math>(a,b)\sim(a',b')\iff a\times b' = a'\times b</math>，其等价类称为分数，记为 <math>a/b</math>；
- 扩展后的集合<math>A / \sim</math>构成域（含乘法逆元），其中 <math>0 / 1</math> 为加法单位元，<math>1 / 1</math> 为乘法单位元。此即有理数域 <math>\mathbb{Q}</math> 的构造基础。
关键限制与意义[编辑]
- 除零禁止：零元无乘法逆元，故 <math>b = 0</math> 时除法无定义。
- 与欧几里得除法的区别：
- 环论中的除法是乘法的逆运算，强调代数结构；
- 欧几里得除法侧重整数间的带余除法（如上文的带余除法），两者本质不同。
符号与表示[编辑]
基础算术中，除号“÷”仍被广泛使用，而在代数与科学领域，除法通常用水平横线（也被称为分数分划线）或斜杠表示被除数与除数的关系。除这三种以外，还有其它不同形式。
除号形式[编辑]
用除号将被除数和除数相隔开：
- <math>a \div b</math>
但实际上，除了在基础算术外，这种形式并不常见。ISO 80000-2-10.6标准明确禁止使用该符号，因部分欧洲国家用 ÷ 表示减法，容易产生混淆。[1]
分数分划线形式[编辑]
将被除数置于分数线上方，除数置于下方，例如：
- <math>\frac ab</math>
该形式可读作“a除以b”、“b除a”或“a比b”。
斜杠与反斜杠形式[编辑]
在单行文本中，使用斜杠分隔被除数与除数，例如：
- <math>a/b</math>
另外，有部分数学软件（如MATLAB、GNU Octave）采用反斜杠表示运算顺序反转的除法：
- <math>b\backslash a</math> (等价于<math>a/b</math>）
还有以上下标斜杠显示的：
- <math>{}^{a}\!/{}_{b}</math>
冒号形式[编辑]
在某些非英语国家，有的用冒号将被除数和除数相隔开：
- <math>a : b</math>
此用法由奥特雷德于1631年最先引入，自莱布尼兹于1684年提倡以来，才为人广泛应用。[2]: 295 莱布尼兹更喜欢用同一个符号表示除法和比率。而在英语用法中，“:”一般只表示比率。
在大部分非英语语言中，<math>c:b</math>代表<math>c \div b</math>的比，读做c比b；<math>c/b</math>则代表<math>c \div b</math>的比值。用法请参照比例。
除了以上这四种形式，美国自19世纪起便开始使用 <math>b)a</math> 或 <math>b \overline{)a}</math> 来单独表示 <math>a</math> 除以 <math>b</math>，尤常见于长除法中。时至今日，美国仍有零星人口使用这种写法。[3]
性质[编辑]
严格而言，除法并不构成集合上的内部合成法则（一种二元运算），其所谓“性质”并不构成数集的结构特性，而应理解为分数形式的固有属性。
非运算性质[编辑]
- 非交换律：<math>5 \div 3 \neq 3 \div 5</math>
- 非结合律：<math>12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3 </math>
特殊元素与等式关系[编辑]
- 右单位元：对任意数 <math>a</math> ，存在 <math>\dfrac a1 = a</math> 。
- 左零吸收元：当 <math> b \neq 0</math> 时，<math> \dfrac 0b = 0</math> 。
- 分数等式：
- 同分母时：当 <math> b \neq 0</math> 时，<math>\dfrac ab = \dfrac cb \iff a=c</math> 。
- 通分等价：当 <math> b \neq 0 \wedge d \neq 0</math> 时，<math>\dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc</math> 。
- 顺序保持性：当 <math> b > 0</math> 时，分数 <math>\dfrac ab</math> 与 <math>\dfrac cb</math> 的大小关系与原数 <math>a</math> 和 <math>c</math> 保持一致。
不同的除法运算[编辑]
零除以任何非零的数都为零。即在被除数为零，除数非零的前提下，商数为零。
整数除法[编辑]
整数集在除法运算下没有封闭性，这意味着，两个整数相除，结果不一定是整数。除零操作本身即无定义外，当被除数不是除数的整数倍时，商将呈现为非整数形式。
以26除以11为例，其商即便非整数，但也属于有理数范畴。此时通常采用以下5种处理策略：
- 将此类除法视为偏函数，即当除法无法得到整数结果时直接判定为无定义。这种处理方式严格遵循数学定义，但会限制运算的应用范围。
- 采用浮点近似法，将结果表示为带有小数部分的实数。这是数值计算方面的通用做法，例如 <math> 26 \div 11 = 2.3636...</math> 该方法通过牺牲精确性来换取运算的普适性，但可能引入舍入误差。
- 通过分数形式保持精确性，将结果表示为既约分数<math>\tfrac{26}{11}</math>或带分数<math>2 \tfrac 4{11}</math>。这种处理要求分子分母的最大公约数为1，例如<math>\tfrac{52}{22}</math>经约简后同样得到<math>\tfrac{26}{11}</math>。分数体系通过引入有理数集 <math>\mathbb{Q}</math> ，使整数除法在更广泛的数系中保持封闭性。
- 采用欧几里得除法，将结果分解为商和余数的组合形式：<math>\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ remainder } 4.</math> 这种表达式满足<math>0\leq 4<11</math>，其数学基础可追溯至《几何原本》中关于线段分割的公理体系。该处理方式在密码学和算法设计中具有重要应用，如RSA加密算法中的模幂运算。
- 实施整数截断，直接取商的地板值（floor function），即<math>\tfrac{26}{11} = 2</math>。该处理方式在编程语言中普遍使用，如C语言的整数除法运算符“/”默认采用此规则。但需要注意的是：
- 不同语言对负数处理存在差异。例如，C语言采用向零取整（T-division），而Python采用向下取整（F-division）。
- 不同语言对整数除法的实现存在显著差异。例如，MATLAB和计算机代数系统通常返回精确分数，而Java、C++等语言则返回截断后的整数。为获取完整结果，多数语言提供辅助函数，如Python的divmod()可同时获取商和余数，Java的Math.floorDiv()可实现地板值除法。
- 术语方面，“div”、“/”、“\”等符号在不同语境下可能代表不同运算规则。例如，C++中的“/”运算符对整数执行截断除法，而对浮点数执行精确除法；Python的“//”运算符则严格实施地板值除法。这种语义差异要求程式员必须明确上下文环境。
欲快速判定整数可除性（整除性），可借助整除规则：如2的倍数末位为偶数，3的倍数各位数字之和可被3整除等。这些规则本质上是数论中同余理论的特例。
有理数除法[编辑]
在除数非零的前提下，两个有理数相除，结果仍为有理数。
具体而言，对于有理数<math>\frac pq</math>和<math>\frac rs</math>（其中 <math>p, q, r, s</math>均为整数且 <math>q, s\neq 0</math>），其除法运算可表示为：
- <math display="block">{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}</math>
该公式表明，有理数的除法本质上是乘以除数的倒数。所有参与运算的量均为整数，且仅有分子 <math>p</math> 允许为零（此时结果为有理数0）。
这一定义严格保证了除法与乘法的逆运算关系：若 <math>\frac ab \div \frac cd = \frac ef</math> ，则必然满足 <math>\frac ef \times \frac cd = \frac ab</math> 。
实数除法[编辑]
由有理数除法可得，在除数非零的前提下，两实数相除，结果仍为实数。
复数除法[编辑]
代数形式的复数除法[编辑]
对于两个非零复数 <math>p+iq</math> 和 <math>r+is</math>（其中 <math>p,\,q,\,r,\,s\in \mathbb{R}</math>，且 <math>r</math> 和 <math>s</math> 不同时为零），其除法运算通过分母实数化实现。先将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 <math>r-is</math> ，分子展开后再分离实部与虚部，即
- <math display="block">{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}</math>
该方法通过消去分母的虚部实现有理化，分母变为实数。
极坐标形式的复数除法[编辑]
当上文复数表示为极坐标形式 <math>pe^{iq}</math> 和 <math>re^{is}</math> （与上述条件相同外， <math>p, r>0</math> ）时，运算可进一步简化为：
- <math display="block">{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)} </math>
该方法直接利用欧拉公式的性质，避免了复杂的代数运算。
多项式除法[编辑]
和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。 证明：
设有多项式<math>A</math>和非零多项式<math>B</math>，则存在唯一的多项式<math>Q</math>和<math>R</math>，满足：
- <math>A = BQ + R </math>
而多项式<math>R</math>若非零多项式，则其幂次严格小于<math>B</math>的幂次。
作为特例，如果要计算某个多项式<math>P</math>除以一次多项式<math>X-a</math>得到的余多项式，可以直接将<math>a</math>代入到多项式<math>P</math>中。<math>P</math>除以<math>X-a</math>的余多项式是<math>P(a)</math>。
具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算<math> X^3 - 12X^2 - 42</math>除以<math>X-3</math>，列式如下：
- <math>
\begin{matrix} \qquad\quad\;\, X^2 \; - 9X \quad - 27\\ \qquad\quad X-3\overline{\vert X^3 - 12X^2 + 0X - 42}\\ \;\; \underline{\;\;X^3 - \;\;3X^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9X^2 + 0X\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9X^2 + 27X}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27X - 42\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27X + 81}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123 \end{matrix} </math>
因此，商式是<math>\ X^2 - 9X - 27 </math>，余式是<math>\ -123 </math>。
矩阵除法[编辑]
矩阵除法可通过逆矩阵运算实现，通常定义为右除：对于可逆方阵 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，其除法运算表示为：
- <math>A / B = A \cdot B^{-1}</math>
其中 <math> B^{-1}</math> 为 <math> B</math> 的逆矩阵。为避免歧义，该运算更常见于显式写出乘积形式 <math>AB^{-1}</math> 。
此外，矩阵的元素级除法可通过阿达玛积定义，即对应元素相除：
- <math>{A \over B} = A \circ B </math> （要求 <math>B</math> 元素非零）
抽象代数除法[编辑]
抽象代数中，给定一个带有二元运算 * 的广群，左除（记为 a \ b ）通常定义为满足方程 a ∗ x = b 的解 <math>x</math> ，类似地，右除记为 b / a ）通常定义为满足方程 y ∗ a = b 的解 <math>y</math> 。这种除法定义不要求运算 * 具有交换性、结合性或单位元等性质。若一个广群中，所有元素对 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的左除和右除均存在且唯一（即满足拉丁方阵），则该广群称为拟群。在拟群中，即使没有单位元和逆元，这种除法运算始终可行。
消去性质与除法运算的扩展[编辑]
在任意广群中，若元素 <math>a</math> 满足消去律，则可通过 <math>a</math> 对元素进行消去操作。例如：
在整环中，虽然并非所有元素都有逆元，但对可消去元素 <math>a</math> ，仍可对形如 <math>ab</math> 或 <math>ca</math> 的元素进行左除（ a \ (ab) = b）或右除（ (ca) / a = c）。进一步地，若一个有限环的所有非零元素均满足消去性质，则根据鸽巢原理，每个非零元素必为可逆元，从而该环成为除环，此时任意非零元素均可作除法。
除法代数的分类与博特周期性[编辑]
博特周期性定理表明，对于满足特定条件的代数结构（如有限维实范数除法代数），其仅能与以下四类结构同构：
- 实数域 <math>\mathbb{R}</math>（维度 1）；
- 复数域 <math>\mathbb{C}</math>（维度 2）；
- 四元数代数 <math>\mathbb{H}</math>（维度 4）；
- 八元数代数 <math>\mathbb{O}</math>（维度 8）。
这一分类结果揭示了除法代数维度的内在规律性，并在拓扑学与量子场论中具有重要应用。
二进制除法[编辑]
讲完以上十进制除法，我们来介绍计算机科学领域更为常见的二进制编码数除法。
二元欧几里得除法[编辑]
首先，我们来思考两个正整数 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的除法运算，采用欧几里得除法。
设 <math>a</math> 和 <math>b</math> 均为 <math>n</math> 位二进制数，其中 <math>a(i)</math> 表示第 <math>i</math> 位（从右向左，编号为 <math>0</math> 至 <math>n-1</math>），<math>a(i:j) </math> 表示从第 <math>i</math> 位到第 <math>j</math> 位的连续位段。以下伪代码（因词汇采用法语而非英语，如无另外说明，以下伪代码词汇皆用法语）实现了该除法的商 <math>Q</math> 和余数 <math>R</math> 的计算：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
Q := 0 ; R := a ; // initialisation
pour i = n-1 → 0
si a(n:i) >= b alors
Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
R = a(n:i) - b ; // reste
fin
fin
retourne [Q, R] ;
fin
算法从被除数的最高位开始，逐步截取与除数同长度的位段（记为 <math>a(n:i)</math>），并判断是否满足 <math>a(n:i)\geq b</math> 。若当前截取的被除数高位段（从最高位开始逐步扩展）小于除数，则商的对应位为0；若该位段数值大于等于除数b，则通过一次减法操作确定商的当前位为1，并更新余数 <math>R = a(n:i) -b</math> 。
原始伪代码通过逐位比较实现，而优化版本有以下改进：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
Q := 0 ; R := 0 ; // initialisation
pour i = n-1 → 0
R = décalage_à_gauche_de_bits(R, 1) ; // équivaut à rajouter un 0 à droite
R(1) = a(i) ; // le bit de poids faible de R est le i-ème bit du numérateur
si R >= b alors
Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
R = R - b ; // reste
fin
fin
retourne [Q, R] ;
fin
而对于浮点数，只需将其分解为尾数和指数，公式为：
- <math>\frac{2^m\,a}{2^n\,b}=2^{m-n}\frac ab</math>
但需处理舍入误差，如采用舍入到最近偶数策略。
总之，该算法仅需比较、位移、减法三种基本操作，体现了计算机算术运算中位级优化的核心思想，适合在微处理器中通过组合逻辑电路或状态机实际操作。
相对较慢的算法[编辑]
设被除数 <math>a</math> 和除数 <math>b</math> 均为 <math>n</math> 位二进制数，其中 <math>a(i)</math> 表示第 <math>i</math> 位（从右向左，编号为 <math>0</math> 至 <math>n-1</math>），<math>a(i:j)</math> 表示从第 <math>i</math> 位到第 <math>j</math> 位的连续位段。算法核心思想是通过递推关系构造商 <math>Q</math> 和余数 <math>R</math> 。
在第 <math>i</math> 步迭代中，余数更新公式为：
- <math>R_i=B\times R_{i-1}-Q_{n-i}\times b</math>
若当前余数 <math>R_{i-1}</math> 左移后大于等于除数 <math>b</math> ，则商位 <math>Q_{n-i}=1</math> ，更新余数
- <math>R_i=2\times R_{i-1}-b</math>
若结果为负，则商位 <math>Q_{n-i}=0</math> ，需恢复余数
- <math>R_i=2\times R_{i-1}+b</math>（通过加回除数实现）
此算法下，原始版本伪代码如下：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
R := a // valeur initiale du reste
b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
pour i = n-1 → 0
R := décalage_à_gauche_de_bits(b, 1)
si R >= b alors
Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
R = R - b
sinon
Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
fin
fin
retourner[Q, R]
fin
优化版本伪代码如下：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
R := a // valeur initiale du reste
b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
pour i = n-1 → 0
R := 2*R - b // le reste décalé est-il supérieur à b ?
si R >= 0 alors
Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
sinon
Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
R := R + b // on restaure la valeur du reste en gardant le décalage
fin
fin
retourner[Q, R]
fin
由于循环中的最后一条语句，这种算法被称为“带恢复的除法”。通过引入+1和-1商位生成机制，可改进为无恢复余数算法。
例如，二进制数11101010可通过以下方式计算：
11101010
-00010101
---------
11010101，通过商位符号扩展避免余数恢复步骤。
无恢复余数算法伪代码如下：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
R[0] := a
i := 0
tant que i < n
si R[i] >= 0 alors
Q[n-(i+1)] := 1
R[i+1] := 2*R[i] - b
sinon
Q[n-(i+1)] := -1
R[i+1] := 2*R[i] + b
fin
i := i + 1
fin
Q = transforme(Q)
retourner[Q, R]
fin
另外，还有SRT算法，一种通过商位查找表的非恢复方法。
相对更快的算法[编辑]
快速除法的核心思想，是通过计算倒数实现除法运算，即先计算 <math>x=1/b</math> ，再通过乘法 <math>Q=a\times x</math> 得到商。此乃牛顿-拉夫森法，其数学形式为：
- <math>x_i = x_{i - 1} - \frac{f_b(x_{i - 1})}{f'_b(x_{i - 1})}</math>
其中，函数 <math>f_b(x) = 0</math> 的零点即为 <math>1/b</math>。迭代公式可简化为：
- <math>x_i = x_{i-1} + x_{i-1} (1-b x_{i-1})</math>
为加速收敛，需对 <math>1/b</math> 进行初始估计。先将除数 <math>b</math> 的二进制指数对齐至区间 <math>[0,5;1]</math> ，再采用预计算的线性近似公式：
- <math>x_0 = \frac{48}{17} - \frac{32}{17}b\ (\simeq 2 · 82 - 1,88 b)</math>
其中系数 <math>48/17</math> 和 <math>32/17</math> 已预先存储为常量。
牛顿-拉夫森法具有二次收敛性，误差随迭代次数指数级下降。对于 <math>p</math> 位精度，所需迭代次数为：
- <math>s = \log_2 \left ( \frac{p + 1}{\log_2 17} \right )</math>
欲求单精度浮点数（24位尾数），需要约3次迭代；欲求双精度浮点数（53位尾数），则需约4次迭代。
牛顿-拉夫森法伪代码如下：
fonction [Q] = diviser(a, b)
e := exposant(b) // b = M*2^e (représentation en virgule flottante)
b' := b/2^{e + 1} // normalisation ; peut se faire par un décalage de e+1 bits à droite
a' := a/2^{e + 1} // 0.5 <= b <= 1 ; a'/b' = a/b
X := 48/17 - 32/17*b' // initialisation de la méthode de Newton
pour i = 1 → s // s précalculé en fonction du nombre p de bits de la mantisse
X := X + X*(1 - b*X)
fin
Q := a'*X
retourne[Q]
fin
至于高施密特法，则是基于倒数逼近原理实现除法运算。其核心思想是通过构造因子序列
- <math>F_k=f_k\times f_{k-1}\times \ldots f_1 =\prod(f_i) </math>
使得归一化后的除数b满足收敛条件
- <math>b_k=F_k \times b \Longrightarrow 1</math>。
整除[编辑]
整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数<math>a</math>可以被自然数<math>b</math>整除，是指<math>b</math>是<math>a</math>的因数，且a是b的整数倍数，也就是<math>a</math>除以<math>b</math>没有余数。
- <math>a \div b = q \dots 0</math>
因数判别法可参照整除规则。
表示方法[编辑]
<math>b \mid a</math>表示<math>b</math>整除<math>a</math>，即<math>a</math>是<math>b</math>的倍数，<math>b</math>是<math>a</math>的因数。
举例[编辑]
<math>15</math>可以被<math>5</math>整除，记作<math>5 \mid 15</math>。
<math>20</math>不能被<math>6</math>整除（因为余数为<math>2</math>），记作<math>6 \nmid 20</math>。在<math>\mid</math>上加一条斜线即表示不整除。
运算方法[编辑]
根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。
算盘也可以做除法运算。
长除法[编辑]
长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。
使用长除法计算<math>{ {1260257}\div {37} } = 34061 </math>的过程可以表示为：
- <math>
\begin{array}{l} 37 \ \big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \! \! \! \! \! \begin{array}{r} 34061 \\ \hline \ 1260257 \\ 111 \quad \quad \\ \hline 150 \quad \ \ \\ 148 \quad \ \ \\ \hline 225 \ \ \\ 222 \ \ \\ \hline 37 \\ 37 \\ \hline 0 \\ \end{array} </math>
短除法[编辑]
短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。
- 使用短除法计算<math>3 \div 7</math>的近似值：
- <math>
\begin{array}{r} 7 \ | \! \underline{\, \ 3.00000000000000000 \dots \ } \\ 0.42857142857142857 \dots \ \end{array} </math>
- 使用短除法计算<math>420</math>的素因数分解：
- <math>
\begin{array}{r} 2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \ } \\ 2 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \ } \\ 3 \ | \! \underline{\, \ 105 \ } \\ 5 \ | \! \underline{\, \ 35 \ } \\ 7 \ \end{array} </math>
- <math>420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7</math>
- <math>
\begin{array}{r} 2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \quad 270 \ } \\ 3 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \quad 135 \ } \\ 5 \ | \! \underline{\, \ 70 \quad \ \ 45 \ } \\ 14 \quad \ \ \ \ 9 \ \end{array} </math>
- <math>
\begin{cases} \gcd(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \\ \operatorname{lcm}(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 \times 14 \times 9 = 3780 \end{cases} </math>
尺规作图法[编辑]
类似于乘法、幂运算和平方根，除法同样可以用尺规作图来表示。下文将展示两种不同的操作方法：
一种方法是作圆法。
两幅附图分别展示了一种简洁解法，该解法同时适用于 <math>a:b</math> 及其倒数 <math>b:a</math> 。图中的虚线圆和弧并非解题所需，而凭通过弦定理，更清晰地展示证明过程。为方便对比，图中各点的命名与弦定理引言图一致。
以下仅针对<math>a<b</math> 的情况（图1）说明构造步骤（至于 <math>a>b</math> 的情况，见图2）：
<math>a<b</math> 时的尺规作图构造
<math>a>b</math> 时的尺规作图构造
- 在数轴上，将长度 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的两条共线线段分别标记为线段 <math>\overline{DS}</math> 和 <math>\overline{SB}</math> ；
- 过点 <math>S</math> 作 <math>\overline{DB}</math> 的垂线，并作一条与 <math>\overline{DB}</math> 距离为1的平行线，两线交于点 <math>C</math> 。为确定过点 <math>C</math> 的弧 <math>k_b</math> 的圆心 <math>M</math> ，需作弦 <math>\overline{DC}</math> 和 <math>\overline{CB}</math> 的两条中垂线（图中未画出）；
- 绘制弧 <math>\mathrm{arc}\; MBD</math> ，其与另一辅助线交于点 <math>E</math> ；
- 连接点 <math>D</math> 和 <math>E</math> ，该连线与过 <math>C</math> 作的垂线交于 <math>C'</math> ；
- 从点 <math>B</math> 出发，作过 <math>E</math> 的射线，直至其与过 <math>C</math> 作的垂线交于 <math>C</math> 。
至此，构造基本完成。为避免出现重叠， <math>\overline{FD}</math> 与 <math>\overline{CS}</math> 的长度关系需单独说明。
对图1的证明：
在以 <math>M'</math> 为圆心的圆 <math>k_2</math> 中应用弦定理可得：
- <math>\overline{A'S} \cdot \overline{C'S} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow </math>
- <math>a:b = \overline{C'S} = \frac{\overline{BS}\cdot\overline{DS}}{\overline{A'S}}.</math>
在以 <math>M</math> 为圆心的圆 <math>k_3</math> 中应用弦定理可得：
- <math>\overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow </math>
- <math>b:a = \overline{CS} = \overline{FD} = \frac{\overline{BS}\cdot\overline{DS}}{\overline{AS}}.</math>
另一种方法是利用截线定理，用尺规作全等三角形。（图3）具体步骤如下：
<math>a / b</math> 时的尺规作图构造
- 自点 <math>A</math> 引出第一条射线；
- 在该射线上，以 <math>A</math> 为起点，先截取长度为 <math>1</math> 的线段 <math>\overline{AE}</math> ，再截取长度为 <math>b</math> 的线段 <math>\overline{AB}</math> ；
- 自点 <math>B</math> 出发，在与 <math>\overline{AB}</math> 成任意角 <math>\alpha</math> 的方向上截取长度为 <math>a</math> 的线段 <math>\overline{BD}</math> ；
- 过点 <math>D</math> 作自点 <math>A</math> 引出的第二条射线；
- 自点 <math>E</math> 作与 <math>\overline{BD}</math> 平行的直线，该直线与第二条射线的交点 <math>C</math> 所对应的线段 <math>\overline{EC}</math> 即为所求商 <math>\frac{a}{b}</math> 的长度。
关于“除以零”[编辑]
“除以零”有意义吗？[编辑]
在标准数学体系中，除以零被定义为“未定义”操作，因其与“零乘任何有限数恒为零”相悖[4]，计算器输入此类表达式也会报错。但在零环和轮代数等高阶数学结构中，通过重新定义运算规则，除以零可被赋予特定意义。
1 : 0 是否等于∞?[编辑]
部分人认为，这个问题应当赋予“∞”的解，因为经验表明，当分配者数量趋近于零时，每个个体获得的量会趋向无限。然而，这种直觉在数学体系中会引发根本性矛盾。
首先，引入“∞”这一“值”将导致环及其算术体系的瓦解。具体表现为：
- 传统算术运算规则失效（如 ∞ <math>-</math> ∞ 未定义）
- 出现大量不定式（如<math>1 : 0</math>型表达式）
- 需另外建立特殊处理法则
其次，通过极限理论，在x=0处，函数 <math>\tfrac{1}{x}</math> 同时具有正负两个方向的发散趋势：
- 右极限：<math>\lim_{x\to +0} \tfrac{1}{x} = +\infty.</math>
- 左极限：<math>\lim_{x\to -0} \tfrac{1}{x} = -\infty.</math>
由于正负无穷不可比较，该点不存在传统意义上的极限值。
而且，在有理数集 <math>\Q</math> 和实数集 <math>\R</math> 中，引入无穷大会破坏原有序关系，导致比较运算的逻辑悖论。
最后，直接承认方程 <math>0 \cdot x = 1</math> 无解具有显著优势：
接受该方程无解的朴素事实，并借助分析学工具（如洛必达法则）处理相关问题，是更为合理且自洽的解决方案。
参见[编辑]
参考资料[编辑]
- ^ 6. Writing Systems and Punctuation (PDF). The Unicode® Standard: Version 10.0 – Core Specification. Unicode Consortium. June 2017: 280, Obelus [2025-07-29]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-04）.
- ^ 引用错误：没有为名为
Cajori的参考文献提供内容 - ^ Smith, David Eugene. History Of Mathematics Vol II. Ginn And Company. 1925.
- ^ http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html 互联网档案馆的存档，存档日期2018-10-23. Retrieved October 23, 2018
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