率
率[1][2]（rate）或变率（rate of change）、变化率，是一个变量（因变量）相对于另一个不同单位（量纲）变量（自变量或时间）发生变化的快慢程度。但是，除了上述精确的科学定义外，也可见到广义的“率”，其含盖两相同单位变量的比值。
就数学而言，率是两个不同单位相关量相除的商，即一个量相对于另一不同单位量的变化[注 1]，也是二维平面直角坐标系中，某一元实值函数图像上某点切线的斜率或该点的导数。如果该率中的除数（或分母）等于一个单位，且假设该作为除数的量可以系统地改变（即作为自变量），那么该率中的被除数（或分子）就表达了另一数（因变量）相应的变化率。在某些情况下，率可被视为一个数值随另一个数值的变化而引起的变化。
- 以时间作为除数的率，是最常见的一种率，即“每单位时间”的某量变化，或“单位时间内”某物理量的变化量，称为随时间的变化率（rate of change with respect to time），简称时间变化率（time rate of change）、时变率（temporal rate），其数学本质即该量对时间的导数或时间导数（time derivative）。例如：速率、心率都是时变率。速率是物体的移动距离相对于时间的变化量，以每单位时间的移动距离来表示；心跳率是每分钟的心跳次数。
- 以非时间作为除数的率，则包括了电容率、磁导率、汇率等等。日常应用的例子如：汇率是两经济体货币的兑换率（具有两种不同货币单位）。
近代科学定义下的“ratio”（比）和“rate”（率），是两个相似却在用法上有所区分的概念。但是不论汉语的“比”和“率”，或是英语的“ratio”和“rate”，都由于漫长的历史因素并未以科学精确区分，偶有混用，造成了有时不符合定义的称呼。汉语中，例如称作“率”的圆周率、分率、打击率，严谨来说，是一种“比”[3]。另一汉语词汇“比率”，在使用上也显含糊，通常用来代表两个同单位数量的比或比值（比的值），但也常用以表示率。英语中，例如称作“rate”的 tax rate、literacy rate、mortality rate 等，其实是一种“ratio”。
变化量与变化率[编辑]
变化量（amount of change）或增量（increment），口语简称“变化”，是某物理量（或变量 y）在某一过程结束时的终态值与开始时的初态值之差，使用符号Δ。例如：“变量 <math>y</math> 的变化量”是 <math>y</math>₂ - <math>y</math>₁ ，记作 Δ<math>y</math> 。变化量不同于变化率，后者是两变化量的商。
平均率与瞬时率[编辑]
根据观察的时间尺度不同，分为以下两种变化率：
- 平均变化率（average rate of change）、平均率：在一个特定时间区间内，因变量相对于自变量的平均变化快慢。例如：开车从A点到B点的平均时速。
- 瞬时变化率（instantaneous rate of change）、瞬时率：在某一特定瞬间，因变量相对于自变量的实时变化快慢。亦即微积分中时间导数的定义。例如：开车中的某时刻，仪表盘上显示的瞬时时速。
物理学中的率[编辑]
在物理学中，当我们提到率（rate）或变化率（rate of change）时，通常是指某物理量在单位时间内的变化量，以此概念为基础，可以引申出各种物理变化率。然而，在不同的学术领域中，单位相同的变化率可能有不同的用法，因此有不同的名称与解释；相对的，基于历史因素或其它原因，同一个名词也可能在不同的领域中有相似但是不同的解读与单位。
流率（flow rate）[编辑]
流率即单位时间内的流量。在流体力学中，流量的单位可以是体积，这称为体积流率；流量的单位也可以是质量，这称为质量流率。水文学中的“流量”（英语：discharge）也是一种体积流率，但是它有另外的研究内涵。虽然流率在概念上只与流量和时间有关，但是在测量与计算上，一个可用的定义是流体速度与所通过的表面或截面的内积，亦即流体在单位时间内垂直通过某表面或截面的流量。
通量（flux）[编辑]
从流率可以导出通量，但是通量的确切定义要依照学术领域或是讨论对象来决定。
在流体力学中，通量是流体在单位时间内垂直通过单位表面或截面的流量，亦即流率的面积密度，例如，体积通量与质量通量。因此，在已知流体通量的情形下，流率是通量的面积分，而在已知流率与正交面积的情形下，通量即流率与正交面积的比例。
在电磁学中，通量的定义是电场或磁场通过某正交表面或截面的流量（场线的总数，参见电通量与磁通量），这与流率的定义相似，不同的是这里没有时间的概念，在数学上则是向量场与正交表面或截面的面积分。场线的面积密度可以用来比较场的强弱：电通量的面积密度称为“电通密度”，磁通量的面积密度称为“磁通密度”。
备注[编辑]
参见[编辑]
参考文献[编辑]
扩展阅读[编辑]
- "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
- "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. : 112ff [2013-05-14]. （原始内容存档于2020-08-03）.
- D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
- Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate （页面存档备份，存于互联网档案馆）
