倒数

File:Disambig gray.svg此条目的主题是数学上的倒数。关于时间上的倒数，请见“倒数计时”。

File:Disambig gray.svg关于邓紫棋的歌曲，请见“倒数 (邓紫棋歌曲)”。

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Diagrammatic representation of limits approaching infinity

倒数函数：<math>y = \frac{1}{x}</math>。对除了<math>\ 0 \ </math>之外的每一个<math>\ x \ </math>值，<math>\ y \ </math>即为其倒数。其图像为直角双曲线。

倒（dào）数（英语：reciprocal）又称乘法逆元（multiplicative inverse）、乘法逆元素，在数学中，是与其原数相乘为1的数；即某数<math>x</math>的倒数，是一个与<math>x</math>相乘的积为1的数，记为<math>\frac{1}{x}</math>或<math>x^{-1}</math>。

在抽象代数中，倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”，也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。

汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都存在倒数：只要用某个数自身除1（也就是说用1除以某个数），即可得到它的倒数。用数学记号表示的话：

一个非零的复数（实数）<math>a</math>的倒数定义为使得<math>a \times b = b \times a = 1</math>成立的复数（实数）<math>b</math>，记作<math>b = \frac{1}{a} = a^{-1}</math>

例如，<math> \frac{3}{8}</math>的倒数是<math> \frac {8}{3}</math>，因为<math> \frac{3}{8} \times \frac {8}{3}= 1</math>

每个复数（实数）只有一个倒数。一般来说，并不是对所有的代数结构中的乘法运算，每个元素都存在其乘法逆，如对矩阵乘法来说，秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆，或者在环<math>Z_{39}</math>中，元素3和18也没有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元，而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子，或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。

负倒数

乘积为-1的两个实数互为负倒数，实数x的负倒数记为<math>-\frac{1}{x}</math>或<math>-x^{-1}</math>。一个实数的倒数和其负倒数是相反数，而0没有倒数或负倒数。

参见

• 乘法
• 除法
• 双曲线