余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“余留下的量”。当余数为零时，被称为整除。

自然数的余数

如果 <math>a</math> 和 <math>d</math> 是两个自然数，<math>d</math> 非0，可以证明存在两个唯一的整数 <math>q</math> 和 <math>r</math> ，满足 <math>a = q*d+r</math> 且 <math>0 \leq r < d</math> 。其中， <math>q</math> 被称为商数， <math>r</math> 被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。

例子

• 13除以10，商为1，余数为3，<math>13 = 1 * 10 + 3</math>或<math>13 \div 10 = 1 \dots 3</math>。
• 26除以4，商为6，余数为2，<math>26 = 6 * 4 + 2</math>或<math>26 \div 4 = 6 \dots 2</math>。
• 56除以7，商为8，余数为0，<math>56 = 8 * 7 + 0</math>或<math>56 \div 7 = 8 \dots 0</math>。
• 9除以10，商为0，余数为9，<math>9 = 0 * 10 + 9</math>或<math>9 \div 10 = 0 \dots 9</math>。

一般整数的余数

如果 <math>a</math> 与 <math>d</math> 是整数，<math>d</math> 非零，那么余数 <math>r</math> 满足这样的关系：

<math>a = qd+r</math> , <math>q</math> 为整数，且<math>0\leq \left \vert r \right \vert < \left \vert d \right \vert</math>。

当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子<math>\frac{-42}{-5}</math>的可以表达为

<math>-42=9\times (-5)+3</math>（在数学工作者中使用较多）

或

<math>-42=8\times (-5)+(-2)</math>.

即余数可能是3或−2。

这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些组合语言系统中，会有特殊的除法指令，设定余数和被除数同号。

在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数 <math>d</math> 。通常，当除以 <math>d</math> 时，如果正余数为<math>r_1</math>，负余数为<math>r_2</math>，那么

<math>r_2=r_1+d</math>。

Python 2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如<math>\frac{-42}{-5}</math>表达为

<math>-42=8\times (-5)+(-2)</math>

而 <math>\frac{42}{-5}</math> 则表达为

<math>42=(-9)\times (-5)+(-3)</math>

实数的余数

当 <math>a</math> 和 <math>d</math> 是实数，且 <math>d</math> 非零，<math>a</math> 除以 <math>d</math> 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 <math>q</math> 和唯一的实数r 使得：<math>a = qd+r</math>, <math>0\leq r <\left \vert d \right \vert</math>。在整数除法里，余数可以要求为负，即满足关系：<math>-\left \vert d \right \vert < r \leq 0</math>。

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要；尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同余。

参见

• 整除
• 中国剩余定理
• 同余
• 辗转相除法