广群

File:Disambig gray.svg此条目介绍的是范畴论中的广群。关于具有单一二元运算的代数结构，请见“原群”。

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：

• 以偏函数取代二元运算的群；
• 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。

在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的<math>g:A \rightarrow B</math>、<math>h:B \rightarrow C</math>。于是组合是全函数：<math>\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C </math>，于是<math>h \circ g : A \rightarrow C </math>。

广群的特例包括：

• 集合体（Setoid），即带有等价关系的集合；
• G-集合，即带有G 的作用的集合。

广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。

定义

广群指的是代数结构<math>(G,\ast)</math>，包含非空集G与定义在G上的二元偏函数'<math>\ast</math>'。

代数定义

广群是具备一元运算<math>{}^{-1}:G\to G,</math>与偏函数<math>*:G\times G \rightharpoonup G</math>的集合G，当中的*不是二元运算，因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算*、⁻¹有以下公理性质：<math>\forall a,\ b,\ c\in G</math>：

1. 结合律：若定义了<math>a*b,\ b*c</math>，则<math>(a * b) * c=a * (b * c)</math>。
2. 逆元：<math>a^{-1} * a</math>、<math>a*{a^{-1}}</math>总有定义。
3. 单位元：若定义了<math>a*b</math>，则<math>a*b*{b^{-1}} = a;\ {a^{-1}} * a * b = b</math>。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：

• <math>(a^{-1})^{-1} = a</math>；
• 若定义了<math>a*b</math>，则<math>(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}</math>。

范畴论定义

广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。更明确地说，广群G是对象集合<math>G_0</math>，其中

• 每对对象x、y，都有从x到y的态射（或箭头）的（可能是空）集合<math>G(x,\ y)</math>，其中的元素写作<math>f:\ x\to y;</math>
• 每个对象x，<math>G(x,\ x)</math>的指定元素<math>\mathrm{id}_x;</math>
• 对任意三个元素x、y、z都有函数<math>\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf;</math>
• 对任意两个元素x、y都有函数<math>\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;</math>
  • <math>f\ \mathrm{id}_x = f</math>、<math>\mathrm{id}_y\ f = f;</math>
  • <math>(h g) f = h (g f);</math>
  • <math>f f^{-1} = \mathrm{id}_y</math>、<math>f^{-1} f = \mathrm{id}_x.</math>

若<math>f\in G(x,\ y)</math>则称x为f的源，记作<math>s(f)</math>；y称作f的目标，记作<math>t(f)</math>。广群G有时记作<math>G_1 \rightrightarrows G_0</math>，当中<math>G_1</math>是所有态射的集合，两个箭头<math>G_1 \to G_0</math>代表源和目标。

更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。

定义比较

代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令G为所有集合<math>G(x,\ y)</math>的不交并（即x到y的态射的集合）；则<math>\mathrm{comp}</math>、<math>\mathrm{inv}</math>就成了G上的偏运算，而<math>\mathrm{inv}</math>事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为<math>\mathrm{comp}</math>、⁻¹为<math>\mathrm{inv}</math>，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及<math>G_0</math>（及<math>\mathrm{id}</math>）。

反过来，给定代数定义的广群G，用<math>\sim</math>定义其元素上的等价关系： <math>a \sim b</math>，若<math>a*a^{-1}=b*b^{-1}.</math>令G₀为<math>\sim</math>的等价类集合，即<math>G_0:=G/\!\!\sim</math>。若<math>a\in G</math>且<math>x\in G_0</math>，用<math>1_x</math>记a ∗ a⁻¹。

现在定义<math>G(x, y)</math>为所有使<math>1_x*f*1_y</math>存在的f的集合。给定<math>f \in G(x,y),\ g \in G(y, z),</math>其组合定义为<math>gf:=f*g \in G(x,z).</math>这是良定义的，因为可观察到<math>(1_x*f)*1_y</math>、<math>1_y*(g*1_z)</math>都存在，<math>(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g</math>也存在。这样，x的恒等态射就是<math>1_x</math>，f的范畴论逆是f⁻¹。

上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。

顶点群与轨道

给定广群G，其中的顶点群或迷向群或轨道群是<math>G(x,\ x)(x\in G)</math>的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。

广群G在点<math>x \in X</math>处的轨道由集合<math>s(t^{-1}(x)) \subseteq X</math>给出，当中包含了可用G中的态射连接到x的每个点。若x、y两点在相同的轨道上，则它们的顶点群G(x)、G(y)群同构：若<math>f:\ x\to y</math>，则同构由<math>g\to fgf^{-1}</math>给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为传递的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。

子广群与态射

<math>G \rightrightarrows X</math>的子广群是子范畴<math>H \rightrightarrows Y</math>，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即<math>\forall x,y \in Y</math>都有<math>X = Y</math>或<math>G(x,y)=H(x,y)</math>，则也称其为宽或满。

广群映射简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若<math>\forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to,</math>都有<math>e\in E:\ x\to</math>，使得<math>p(e)=b</math>，则广群的态射<math>p: E \to B</math>称作纤维化。若这样的e是唯一的，则纤维化称作覆盖态射或广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。 同样，给点广群B的覆盖态射范畴，等同于广群B对对集合的作用范畴。

例子

拓扑

主条目：基本广群

给定拓扑空间X，令<math>G_0</math>为集合X。从点p到点q的态射是p到q的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。 先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X的基本广群，记作<math>\pi_1(X)</math>（有时是<math>\Pi_1(X)</math>）。通常的基本群<math>\pi_1(X,x)</math>于是就是点x的顶点群。

基本广群<math>\pi_1(X)</math>的轨道是X的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群<math>\pi_1(X,A)</math>，其中<math>A\subset X</math>是选定的基点集合。当中<math>\pi_1(X,A)</math>是<math>\pi_1(X)</math>的（宽）子广群，这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。

等价关系

若X是集合体，即具有等价关系<math>\sim</math>的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：

• 广群对象是X的元素；
• <math>\forall x,\ y\in X,</math>有单态射<math>(y,x):\ x\to y</math>，当且仅当<math>x\sim y</math>；
• <math>(z,y)</math>与<math>(y,x)</math>的组合是<math>(z,x)</math>。

这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

• X每个元素若都与X的其他元素有联系，则就得到了X的对广群，其以整个<math>X \times X</math>作为箭头集，且是传递的。
• X每个元素若只与自身有关系，就得到了单位广群，其以X为箭头集，<math>s = t = id_X</math>，是完全不传递的（每个单子<math>\{x\}</math>都是轨道）。

例子

• 若<math>f: X_0 \to Y</math>是光滑流形的光滑满射浸没，则<math>X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0</math>是等价关系，因为在拓扑空间的满射下，Y与<math>X_0</math>的商拓扑拓扑同构。若记<math>X_1 = X_0\times_YX_0</math>则可得广群

  <math>X_1 \rightrightarrows X_0</math>

  有时称为光滑流形的满射浸没的平庸广群。
• 若放宽自反性要求、考虑偏等价关系，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作PER模型。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯。

切赫广群

参见：单纯流形和神经复形

切赫广群是一类特殊的广群，与某个流形X的开覆盖<math>\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}</math>所给出的等价关系相关联。其对象由不交并

<math>\mathcal{G}_0 = \coprod U_i</math>

给出，其箭头是相交

<math>\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}</math>.

源映射与目标映射由诱导映射给出

<math>\begin{align}

s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\ t = \phi_i: U_{ij} \to U_i

\end{align}</math>

包含映射

<math>\varepsilon: U_i \to U_{ii}</math>

则给出了广群的结构。实际上，还可设置

<math>\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1</math>

为n次迭代的纤维积来进一步扩展，其中<math>\mathcal{G}_n</math>表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为

<math>\begin{matrix}

U_{ijk} & \to & U_{ij} \\ \downarrow & & \downarrow \\ U_{ik} & \to & U_{i}

\end{matrix}</math>

是笛卡儿图，其中到<math>U_i</math>的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环

<math>[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})</math>

对某个阿贝尔群之常数层可表为函数

<math>\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A</math>

给出了上同调类的明确表示。

群作用

若群G作用于集合X，则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群：

• 对象是X的元素；
• <math>\forall x,\ y\in X</math>，态射<math>x\to y</math>对应<math>g\in G</math>，使得<math>gx = y</math>；
• 态射的复合解释了G的二元运算。

更明确地说，作用广群是小范畴<math>\mathrm{ob}(C)=X</math>、<math>\mathrm{hom}(C)=G\times X</math>，源映射和目标映射分别为<math>s(g,x) = x</math>、<math>t(g,x) = gx</math>。通常表示为<math>G \ltimes X</math>（对于右作用记为<math>X\rtimes G</math>）。广群中的乘法（或组合）就是<math>(h,y)(g,x) = (hg,x)</math>，定义条件是<math>y=gx</math>。

<math>\forall x\in X</math>，顶点群由<math>gx=x</math>的<math>(g,x)</math>组成，这只是给定作用在x处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。

另一种描述G集合的方法是函子范畴<math>[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]</math>，当中<math>\mathrm{Gr}</math>是1个元素的广群（范畴），同构于群G。事实上，这个范畴的每个函子F都定义了集合<math>X=F(\mathrm{Gr});\ \forall g\in G</math>（即对<math>\mathrm{Gr}</math>中的每个态射）诱导了双射<math>F_g</math>：<math>X\to X</math>。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：<math>\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}</math>是G的凯莱表示。事实上，这个函子与<math>\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)</math>同构，因此将<math>\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})</math>送到集合<math>\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})</math>，后者的定义就是“集合”G和<math>\mathrm{Gr}</math>的态射g（即G的元素g）到集合G的置换<math>F_g</math>。由米田嵌入推导出：群G同构于G的置换群的子群<math>\{F_g\mid g\in G\}</math>。

有限集

考虑<math>\mathbb{Z}/2</math>在有限集<math>X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}</math>上的群作用，其将每个数取负，于是<math>-2 \mapsto 2</math>、<math>1 \mapsto -1</math>。商广群<math>[X/G]</math>是这个群作用的等价类集合<math>\{[0],[1],[2]\}</math>，<math>[0]</math>在其上有群作用<math>\mathbb{Z}/2</math>。

商簇

任何映射到<math>GL(n)</math>的有限群G都会在仿射空间<math>\mathbb{A}^n</math>上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是<math>[\mathbb{A}^n/G]</math>，有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间<math>\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)</math>及其子空间，如卡拉比-丘轨形。

广群的纤维积

给定具有广群态射的广群图

<math>

\begin{align}

& & X \\
& & \downarrow \\

Y &\rightarrow & Z \end{align} </math>

其中<math>f:X\to Z</math>、<math>g:Y\to Z</math>，可组成广群<math>X\times_ZY</math>，其对象为三元组<math>(x,\phi,y)</math>，其中<math>x \in \text{Ob}(X),\ y \in \text{Ob}(Y),\ \phi: f(x) \to g(y),\ \in Z</math>。态射可定义为一对态射<math>(\alpha,\beta)</math>，其中<math>\alpha: x \to x',\ \beta: y \to y'</math>，使得对三元组<math>(x,\phi,y), (x',\phi',y'),\ Z</math>中有<math>f(\alpha):f(x) \to f(x'),\ g(\beta):g(y) \to g(y'),\ \phi,\phi'</math>的交换图。

同调代数

具体阿贝尔范畴中对象的二项复形

<math>

C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0 </math> 可形成广群。其对象是集合<math>C_0</math>，箭头是集合<math>C_1\oplus C_0</math>；源映射只是到<math>C_0</math>的映射，目标映射是对<math>C_1</math>与d的组合跟到<math>C_0</math>的映射的加法。也就是说，给定<math>c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0</math>，有

<math>

t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0. </math> 当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。

游戏

魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。

数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。这一广群作用作用于构型。

马蒂厄广群

马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M₁₂的一个副本。

与群的关系

类似群的结构
	完全性	结合律	单位元	除法
群	是	是	是	是
幺半群	是	是	是	否
半群	是	是	否	否
环群	是	否	是	是
拟群	是	否	否	是
原群	是	否	否	否
广群	否	是	是	是
范畴	否	是	是	否

若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。

每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）<math>(G, X)</math>同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。

注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象<math>x_0</math>、群同构<math>h:\ G(x_0)\to G</math>、<math>\forall x\ne x_0,\ </math>态射<math>\in G:\ x_0\to x</math>。

若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其连通成分（每个连通成分可能具有不同的群G与集合X）。

用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合X，而只需指定群G。例如，

• X的基本广群等价于X的每个路径连通成分的基本群的集合，但同构要指定每个成分的点集；
• 具有等价关系<math>\sim</math>的集合X等价（作为广群）于每个等价类的平凡群的一个副本，但同构需要说明每个等价类；
• 具备群G的作用的集合X等价（作为广群）于作用的每个轨道的G的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个<math>G(x)</math>，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个p点到每个q点。

一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群G的子群H会产生‘’G对G中H的陪集集的作用，从而产生K到G的覆盖态射p，其中K是顶点群与H同构的广群。这样，群G的表示就可以“提升”到广群K的表示，这是获取子群H的表现信息的有用方法。

广群范畴

对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴，记作Grpd。

Grpd与小范畴相似，是笛卡儿闭范畴：对任意广群<math>H,K</math>，我们都可以构造广群<math>\operatorname{GPD}(H,K)</math>，其对象是态射<math> H \to K </math>、箭头是态射的自然等价。于是，若<math> H,K </math>只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群<math> G,H,K </math>都有自然双射

<math>\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).</math>

即使所有广群<math> G,H,K </math>都只是群，这个结果也有意义。

Grpd既是完全范畴，又是余完全范畴。

与Cat的关系

包含态射<math>i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}</math>有左右伴随函子：

<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G)) </math>

<math> \hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C)) </math>

当中，<math>C[C^{-1}]</math>表示反转每个态射的范畴局部化，<math>\mathrm{Core}(C)</math>表示所有同构的子范畴。

与sSet的关系

神经函子<math>N : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}</math>将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。

神经有左伴随

<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G)) </math>

当中<math>\pi_1(X)</math>表示单纯集X的基本广群。

Grpd中的广群

主条目：双重广群

广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即双重广群。因为Grpd是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子

<math>s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0</math>

的广群<math>\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0</math>，以及由恒等函子

<math>i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1</math>

给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块

<math>\begin{matrix}

\bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \end{matrix} </math>与<math>\begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet

\end{matrix}</math>

其中<math>a</math>是同一个态射，则可以垂直相连，得到图

<math>\begin{matrix}

\bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet

\end{matrix}</math>

可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

具有几何结构的广群

研究几何对象时，产生的广群通常带有拓扑，使其成为拓扑广群；一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究，这与李群和李代数之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，泊松几何中有辛广群的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。

另见

• ∞-广群
• 2-群
• 同伦类型论

参考文献

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• R.T. Zivaljevic. "Groupoids in combinatorics—applications of a theory of local symmetries". In Algebraic and geometric combinatorics, volume 423 of Contemp. Math., 305–324. Amer. Math. Soc., Providence, RI (2006)
• nLab的fundamental groupoid条目
• nLab的core条目