除法
| 算術運算 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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除法（英語、法語：division）是四則運算之一。除法運算的本質，就是「重複減法的簡化表達」。
例如：<math>{ {6}\div {3} } = 2 </math>，就好像<math>{ {{ {6}3} }{3} } = 0 </math>， <math> \begin{cases} 6-3 = 3 \\ 3-3 = 0 \end{cases} </math>，<math>6</math>被<math>3</math>減了兩次後，就變成了<math>0</math>。
如果
- <math>a \times b = c </math>
- <math>a = c \div b </math>
其中，a稱為商數，b稱為除數，c稱為被除數。
如果除式的商數（<math>a</math>）必須是整數，則稱為帶餘除法，<math>a \times b</math>與<math>c</math>相差的數值，稱為餘數（<math>d</math>）。
- <math>c \div b = a \dots d</math>
這也意味着
- <math>c = a \times b + d</math>
在高等數學、科學、工程學和計算機程式語言中，<math>c \div b</math>寫成<math>c/b</math>。如果我們毋需知曉確切值，或者留待以後引用，這種形式也常稱之為分數的最終形式。其中尋找商數的函數為<math>\operatorname{div}</math>，尋找餘數（即模除）的函數則為<math>\operatorname{mod}</math>。
在代數結構範疇中，除法運算存在兩種基本形式，對應不同的數學結構定義：
- 帶餘除法（歐幾里得除法）：若代數結構中定義了帶餘除法（即存在商和餘數，且餘數的範數嚴格小於除數的範數），則該結構稱為歐幾里得整環。例如，一元多項式環（係數取自域）在其多項式次數構成的範數下構成歐幾里得整環。
- 無餘除法：若代數結構中所有非零元素均可逆（即對任意非零元素 <math>a</math>，存在 <math>b</math> 使得 <math>ab=ba=1</math>），則該結構稱為域；若僅滿足乘法可逆性（不要求交換性），則稱為除環。例如，複數是域，而四元數是除環。
引言[編輯]
首先，進入正題前，我們不妨來看兩個生活中的例子：
- 將500克糖果均分給8人：由<math>\dfrac{500}{8} = 62{{.}}5</math>可得，每人獲得62.5克糖果（無餘除法）
- 500克奶粉，按70克/份分配：由<math>\dfrac{500}{70} = 7{{.}}14\ldots </math>可得，可完整分配7份，餘量≈0.14份（帶餘除法）
其次，數學和物理存在許多「比例關係反演」：
- 已知某物體重力 <math>P=m\times g </math> ，可得質量 <math>m=P/g </math>；
- 已知勻速直線運動狀態下，某物體行進距離 <math>d=v\times t</math> ，可得時間 <math>t=d/v</math>；
- 對一般仿射關係 <math>y=ax+b</math> ，其逆映射為 <math>x=(y-b)/a</math>；
- 當函數局部可線性化時（如泰勒展開一階近似）：<math>y=f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\times(x-x_0)</math> ，
- 可構造逆函數近似解：<math>x \simeq x_0 + \frac{f(x) - f(x_0)}{f'(x_0)}</math>；<math>f^{-1}(y) \simeq x_0 + \frac{y - f(x_0)}{f'(x_0)}</math>；
- 此乃牛頓迭代法求根的理論基礎：<math>f^{-1}(0) \simeq x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}</math>。
可見，在數學，尤其是在基本算術中，除法可視為「乘法的反運算」，也可理解為「重複的減法」。
定義[編輯]
基本定義[編輯]
首先，我們來定義整數間的帶餘除法。這一運算的核心，是將被除數表示為「除數的整數倍+餘數」的形式，且餘數需滿足特定條件。
具體而言，對於任意整數 <math>a</math> 和非零整數 <math>b</math>，存在唯一的整數 <math>q</math>（商）和 <math>r</math>（餘數），使得：
- <math>a=b\times q+r</math> 且 <math>0\leq r<|b| </math>
其中，餘數 <math>r</math> 的非負性及小於除數絕對值的性質確保了分解的唯一性。
該定義是數論中整除、同餘等概念的基礎，並廣泛用於模運算、輾轉相除法等算法中。
帶餘除法的概念，已能凸顯除零問題的本質：如何將一個量分成0份？顯然，這沒有實際意義。
隨後，我們引入十進制數的概念，並通過遞歸處理餘數的方式擴展計算過程，由此便有了有理數的定義體系。至於實數，則在有理數基礎上拓展而成。
此時可以設想，將整體劃分為更小的單位份額，從而實現分數除法：將一個量除以 <math>0.1</math>（即<math>1/10</math>），意味着初始量相當於<math>1/10</math>個單位份額，進而求出完整單位的大小；而將一個量除以負數，則相當於計算需要移除的單位份額規模。
無理數無法直觀理解為具體數量，但可視為一種比——例如正方形對角線與邊長之比，或圓周界與其直徑之比。至此，除法運算不再能單純定義為「劃分」，而應理解為乘法逆運算。
基於此定義，除以零仍無意義。由於零乘任何數都得零（<math>0\times a =0</math>），零便有無窮多個乘法反元素。我們亦可從極限角度理解該問題——因為除以某數等價於乘以其倒數，故可將原問題轉化為函數<math>f(x)=1/x</math>在零點處極限的操作：當 <math>x</math> 從左側趨近於零時，極限為<math>-\infty </math>，從右側趨近時，則為<math>+\infty</math>。
即便通過引入廣義實數集（即在實數軸上添加<math>-\infty </math>和<math>+\infty</math>這兩個「偽無窮大」）來擴展數系，問題仍未解決，因為極限值的符號不確定性依然存在。由此可見，除法在代數與數分中具有根本性意義。
其它定義[編輯]
環論中的除法定義[編輯]
設 <math>(A,+,\times)</math> 為整環，則 <math>A</math> 上的除法運算定義為滿足以下條件的二元關係：
- 運算規則：對於任意 <math>a,\,b,\,c\in A</math> ，<math>a \div b = c</math> ，當且僅當 <math> b \times c = a</math>（其中 <math>b \neq 0</math>）；
- 唯一性：整環的乘法消去律保證除法結果唯一（若 <math>b \times c_1 = a</math> 且 <math>b \times c_2 = a</math>，則 <math>c_1 = c_2</math>）；
- 定義域限制：除法僅在 <math>\mathrm{A} \times (\mathrm{A}-\{0\})</math> 上有定義，即除數不能為零。
從整環到域的擴展[編輯]
若 A 為交換環，可通過等價關係擴展除法：
- 定義等價關係<math>\sim</math>：<math>(a,b)\sim(a',b')\iff a\times b' = a'\times b</math>，其等價類稱為分數，記為 <math>a/b</math>；
- 擴展後的集合<math>A / \sim</math>構成域（含乘法反元素），其中 <math>0 / 1</math> 為加法單位元素，<math>1 / 1</math> 為乘法單位元素。此即有理數體 <math>\mathbb{Q}</math> 的構造基礎。
關鍵限制與意義[編輯]
- 除零禁止：零元素無乘法反元素，故 <math>b = 0</math> 時除法無定義。
- 與歐幾里得除法的區別：
- 環論中的除法是乘法的逆運算，強調代數結構；
- 歐幾里得除法側重整數間的帶餘除法（如上文的帶餘除法），兩者本質不同。
符號與表示[編輯]
基礎算術中，除號「÷」仍被廣泛使用，而在代數與科學領域，除法通常用水平橫線（也被稱為分數分劃線）或斜槓表示被除數與除數的關係。除這三種以外，還有其它不同形式。
除號形式[編輯]
用除號將被除數和除數相隔開：
- <math>a \div b</math>
但實際上，除了在基礎算術外，這種形式並不常見。ISO 80000-2-10.6標準明確禁止使用該符號，因部分歐洲國家用 ÷ 表示減法，容易產生混淆。[1]
分數分劃線形式[編輯]
將被除數置於分數線上方，除數置於下方，例如：
- <math>\frac ab</math>
該形式可讀作「a除以b」、「b除a」或「a比b」。
斜槓與反斜槓形式[編輯]
在單行文本中，使用斜槓分隔被除數與除數，例如：
- <math>a/b</math>
另外，有部分數學軟件（如MATLAB、GNU Octave）採用反斜槓表示運算順序反轉的除法：
- <math>b\backslash a</math> (等價於<math>a/b</math>）
還有以上下標斜槓顯示的：
- <math>{}^{a}\!/{}_{b}</math>
冒號形式[編輯]
在某些非英語國家，有的用冒號將被除數和除數相隔開：
- <math>a : b</math>
此用法由奧特雷德於1631年最先引入，自萊布尼茲於1684年提倡以來，才為人廣泛應用。[2]: 295 萊布尼茲更喜歡用同一個符號表示除法和比率。而在英語用法中，「:」一般只表示比率。
在大部分非英語語言中，<math>c:b</math>代表<math>c \div b</math>的比，讀做c比b；<math>c/b</math>則代表<math>c \div b</math>的比值。用法請參照比例。
除了以上這四種形式，美國自19世紀起便開始使用 <math>b)a</math> 或 <math>b \overline{)a}</math> 來單獨表示 <math>a</math> 除以 <math>b</math>，尤常見於長除法中。時至今日，美國仍有零星人口使用這種寫法。[3]
性質[編輯]
嚴格而言，除法並不構成集合上的內部合成法則（一種二元運算），其所謂「性質」並不構成數集的結構特性，而應理解為分數形式的固有屬性。
非運算性質[編輯]
- 非交換律：<math>5 \div 3 \neq 3 \div 5</math>
- 非結合律：<math>12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3 </math>
特殊元素與等式關係[編輯]
- 右單位元素：對任意數 <math>a</math> ，存在 <math>\dfrac a1 = a</math> 。
- 左零吸收元：當 <math> b \neq 0</math> 時，<math> \dfrac 0b = 0</math> 。
- 分數等式：
- 同分母時：當 <math> b \neq 0</math> 時，<math>\dfrac ab = \dfrac cb \iff a=c</math> 。
- 通分等價：當 <math> b \neq 0 \wedge d \neq 0</math> 時，<math>\dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc</math> 。
- 順序保持性：當 <math> b > 0</math> 時，分數 <math>\dfrac ab</math> 與 <math>\dfrac cb</math> 的大小關係與原數 <math>a</math> 和 <math>c</math> 保持一致。
不同的除法運算[編輯]
零除以任何非零的數都為零。即在被除數為零，除數非零的前提下，商數為零。
整數除法[編輯]
整數集在除法運算下沒有封閉性，這意味着，兩個整數相除，結果不一定是整數。除零操作本身即無定義外，當被除數不是除數的整數倍時，商將呈現為非整數形式。
以26除以11為例，其商即便非整數，但也屬於有理數範疇。此時通常採用以下5種處理策略：
- 將此類除法視為偏函數，即當除法無法得到整數結果時直接判定為無定義。這種處理方式嚴格遵循數學定義，但會限制運算的應用範圍。
- 採用浮點近似法，將結果表示為帶有小數部分的實數。這是數值計算方面的通用做法，例如 <math> 26 \div 11 = 2.3636...</math> 該方法通過犧牲精確性來換取運算的普適性，但可能引入捨入誤差。
- 通過分數形式保持精確性，將結果表示為最簡分數<math>\tfrac{26}{11}</math>或帶分數<math>2 \tfrac 4{11}</math>。這種處理要求分子分母的最大公約數為1，例如<math>\tfrac{52}{22}</math>經約簡後同樣得到<math>\tfrac{26}{11}</math>。分數體系通過引入有理數集 <math>\mathbb{Q}</math> ，使整數除法在更廣泛的數系中保持封閉性。
- 採用歐幾里得除法，將結果分解為商和餘數的組合形式：<math>\tfrac{26}{11} = 2 \mbox{ remainder } 4.</math> 這種表達式滿足<math>0\leq 4<11</math>，其數學基礎可追溯至《幾何原本》中關於線段分割的公理體系。該處理方式在密碼學和算法設計中具有重要應用，如RSA加密演算法中的模冪運算。
- 實施整數截斷，直接取商的地板值（floor function），即<math>\tfrac{26}{11} = 2</math>。該處理方式在程式語言中普遍使用，如C語言的整數除法運算符「/」默認採用此規則。但需要注意的是：
- 不同語言對負數處理存在差異。例如，C語言採用向零取整（T-division），而Python採用向下取整（F-division）。
- 不同語言對整數除法的實現存在顯著差異。例如，MATLAB和計算機代數系統通常返回精確分數，而Java、C++等語言則返回截斷後的整數。為獲取完整結果，多數語言提供輔助函數，如Python的divmod()可同時獲取商和餘數，Java的Math.floorDiv()可實現地板值除法。
- 術語方面，「div」、「/」、「\」等符號在不同語境下可能代表不同運算規則。例如，C++中的「/」運算符對整數執行截斷除法，而對浮點數執行精確除法；Python的「//」運算符則嚴格實施地板值除法。這種語義差異要求程式員必須明確上下文環境。
欲快速判定整數可除性（整除性），可藉助整除規則：如2的倍數末位為偶數，3的倍數各位數字之和可被3整除等。這些規則本質上是數論中同餘理論的特例。
有理數除法[編輯]
在除數非零的前提下，兩個有理數相除，結果仍為有理數。
具體而言，對於有理數<math>\frac pq</math>和<math>\frac rs</math>（其中 <math>p, q, r, s</math>均為整數且 <math>q, s\neq 0</math>），其除法運算可表示為：
- <math display="block">{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}</math>
該公式表明，有理數的除法本質上是乘以除數的倒數。所有參與運算的量均為整數，且僅有分子 <math>p</math> 允許為零（此時結果為有理數0）。
這一定義嚴格保證了除法與乘法的逆運算關係：若 <math>\frac ab \div \frac cd = \frac ef</math> ，則必然滿足 <math>\frac ef \times \frac cd = \frac ab</math> 。
實數除法[編輯]
由有理數除法可得，在除數非零的前提下，兩實數相除，結果仍為實數。
複數除法[編輯]
代數形式的複數除法[編輯]
對於兩個非零複數 <math>p+iq</math> 和 <math>r+is</math>（其中 <math>p,\,q,\,r,\,s\in \mathbb{R}</math>，且 <math>r</math> 和 <math>s</math> 不同時為零），其除法運算通過分母實數化實現。先將分子和分母同時乘以分母的共軛複數 <math>r-is</math> ，分子展開後再分離實部與虛部，即
- <math display="block">{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}</math>
該方法通過消去分母的虛部實現有理化，分母變為實數。
極坐標形式的複數除法[編輯]
當上文複數表示為極坐標形式 <math>pe^{iq}</math> 和 <math>re^{is}</math> （與上述條件相同外， <math>p, r>0</math> ）時，運算可進一步簡化為：
- <math display="block">{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)} </math>
該方法直接利用歐拉公式的性質，避免了複雜的代數運算。
多項式除法[編輯]
和整數之間的帶餘除法類似，一元多項式之間也可以進行帶餘除法。 證明：
設有多項式<math>A</math>和非零多項式<math>B</math>，則存在唯一的多項式<math>Q</math>和<math>R</math>，滿足：
- <math>A = BQ + R </math>
而多項式<math>R</math>若非零多項式，則其冪次嚴格小於<math>B</math>的冪次。
作為特例，如果要計算某個多項式<math>P</math>除以一次多項式<math>X-a</math>得到的餘多項式，可以直接將<math>a</math>代入到多項式<math>P</math>中。<math>P</math>除以<math>X-a</math>的餘多項式是<math>P(a)</math>。
具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如，計算<math> X^3 - 12X^2 - 42</math>除以<math>X-3</math>，列式如下：
- <math>
\begin{matrix} \qquad\quad\;\, X^2 \; - 9X \quad - 27\\ \qquad\quad X-3\overline{\vert X^3 - 12X^2 + 0X - 42}\\ \;\; \underline{\;\;X^3 - \;\;3X^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9X^2 + 0X\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9X^2 + 27X}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27X - 42\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27X + 81}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123 \end{matrix} </math>
因此，商式是<math>\ X^2 - 9X - 27 </math>，餘式是<math>\ -123 </math>。
矩陣除法[編輯]
矩陣除法可通過逆矩陣運算實現，通常定義為右除：對於可逆方陣 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，其除法運算表示為：
- <math>A / B = A \cdot B^{-1}</math>
其中 <math> B^{-1}</math> 為 <math> B</math> 的逆矩陣。為避免歧義，該運算更常見於顯式寫出乘積形式 <math>AB^{-1}</math> 。
此外，矩陣的元素級除法可通過阿達瑪積定義，即對應元素相除：
- <math>{A \over B} = A \circ B </math> （要求 <math>B</math> 元素非零）
抽象代數除法[編輯]
抽象代數中，給定一個帶有二元運算 * 的廣群，左除（記為 a \ b ）通常定義為滿足方程 a ∗ x = b 的解 <math>x</math> ，類似地，右除記為 b / a ）通常定義為滿足方程 y ∗ a = b 的解 <math>y</math> 。這種除法定義不要求運算 * 具有交換性、結合性或單位元素等性質。若一個廣群中，所有元素對 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的左除和右除均存在且唯一（即滿足拉丁方陣），則該廣群稱為擬群。在擬群中，即使沒有單位元素和反元素，這種除法運算始終可行。
消去性質與除法運算的擴展[編輯]
在任意廣群中，若元素 <math>a</math> 滿足消去律，則可通過 <math>a</math> 對元素進行消去操作。例如：
在整環中，雖然並非所有元素都有反元素，但對可消去元素 <math>a</math> ，仍可對形如 <math>ab</math> 或 <math>ca</math> 的元素進行左除（ a \ (ab) = b）或右除（ (ca) / a = c）。進一步地，若一個有限環的所有非零元素均滿足消去性質，則根據鴿巢原理，每個非零元素必為可逆元素，從而該環成為除環，此時任意非零元素均可作除法。
除法代數的分類與博特週期性[編輯]
博特週期性定理表明，對於滿足特定條件的代數結構（如有限維實範數除法代數），其僅能與以下四類結構同構：
- 實數體 <math>\mathbb{R}</math>（維度 1）；
- 複數域 <math>\mathbb{C}</math>（維度 2）；
- 四元數代數 <math>\mathbb{H}</math>（維度 4）；
- 八元數代數 <math>\mathbb{O}</math>（維度 8）。
這一分類結果揭示了除法代數維度的內在規律性，並在拓撲學與量子場論中具有重要應用。
二進制除法[編輯]
講完以上十進制除法，我們來介紹計算機科學領域更為常見的二進制編碼數除法。
二元歐幾里得除法[編輯]
首先，我們來思考兩個正整數 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的除法運算，採用歐幾里得除法。
設 <math>a</math> 和 <math>b</math> 均為 <math>n</math> 位二進制數，其中 <math>a(i)</math> 表示第 <math>i</math> 位（從右向左，編號為 <math>0</math> 至 <math>n-1</math>），<math>a(i:j) </math> 表示從第 <math>i</math> 位到第 <math>j</math> 位的連續位段。以下偽代碼（因詞彙採用法語而非英語，如無另外說明，以下偽代碼詞彙皆用法語）實現了該除法的商 <math>Q</math> 和餘數 <math>R</math> 的計算：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
Q := 0 ; R := a ; // initialisation
pour i = n-1 → 0
si a(n:i) >= b alors
Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
R = a(n:i) - b ; // reste
fin
fin
retourne [Q, R] ;
fin
算法從被除數的最高位開始，逐步截取與除數同長度的位段（記為 <math>a(n:i)</math>），並判斷是否滿足 <math>a(n:i)\geq b</math> 。若當前截取的被除數高位段（從最高位開始逐步擴展）小於除數，則商的對應位為0；若該位段數值大於等於除數b，則通過一次減法操作確定商的當前位為1，並更新餘數 <math>R = a(n:i) -b</math> 。
原始偽代碼通過逐位比較實現，而最佳化版本有以下改進：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
Q := 0 ; R := 0 ; // initialisation
pour i = n-1 → 0
R = décalage_à_gauche_de_bits(R, 1) ; // équivaut à rajouter un 0 à droite
R(1) = a(i) ; // le bit de poids faible de R est le i-ème bit du numérateur
si R >= b alors
Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
R = R - b ; // reste
fin
fin
retourne [Q, R] ;
fin
而對於浮點數，只需將其分解為尾數和指數，公式為：
- <math>\frac{2^m\,a}{2^n\,b}=2^{m-n}\frac ab</math>
但需處理捨入誤差，如採用捨入到最近偶數策略。
總之，該算法僅需比較、位移、減法三種基本操作，體現了計算機算術運算中位級最佳化的核心思想，適合在微處理器中通過組合邏輯電路或狀態機實際操作。
相對較慢的算法[編輯]
設被除數 <math>a</math> 和除數 <math>b</math> 均為 <math>n</math> 位二進制數，其中 <math>a(i)</math> 表示第 <math>i</math> 位（從右向左，編號為 <math>0</math> 至 <math>n-1</math>），<math>a(i:j)</math> 表示從第 <math>i</math> 位到第 <math>j</math> 位的連續位段。算法核心思想是通過遞歸關係構造商 <math>Q</math> 和餘數 <math>R</math> 。
在第 <math>i</math> 步迭代中，餘數更新公式為：
- <math>R_i=B\times R_{i-1}-Q_{n-i}\times b</math>
若當前餘數 <math>R_{i-1}</math> 左移後大於等於除數 <math>b</math> ，則商位 <math>Q_{n-i}=1</math> ，更新餘數
- <math>R_i=2\times R_{i-1}-b</math>
若結果為負，則商位 <math>Q_{n-i}=0</math> ，需恢復餘數
- <math>R_i=2\times R_{i-1}+b</math>（通過加回除數實現）
此算法下，原始版本偽代碼如下：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
R := a // valeur initiale du reste
b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
pour i = n-1 → 0
R := décalage_à_gauche_de_bits(b, 1)
si R >= b alors
Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
R = R - b
sinon
Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
fin
fin
retourner[Q, R]
fin
最佳化版本偽代碼如下：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
R := a // valeur initiale du reste
b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
pour i = n-1 → 0
R := 2*R - b // le reste décalé est-il supérieur à b ?
si R >= 0 alors
Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
sinon
Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
R := R + b // on restaure la valeur du reste en gardant le décalage
fin
fin
retourner[Q, R]
fin
由於循環中的最後一條語句，這種算法被稱為「帶恢復的除法」。通過引入+1和-1商位生成機制，可改進為無恢復餘數算法。
例如，二進制數11101010可通過以下方式計算：
11101010
-00010101
---------
11010101，通過商位符號擴展避免餘數恢復步驟。
無恢復餘數算法偽代碼如下：
fonction [Q, R] = diviser(a, b)
si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
R[0] := a
i := 0
tant que i < n
si R[i] >= 0 alors
Q[n-(i+1)] := 1
R[i+1] := 2*R[i] - b
sinon
Q[n-(i+1)] := -1
R[i+1] := 2*R[i] + b
fin
i := i + 1
fin
Q = transforme(Q)
retourner[Q, R]
fin
另外，還有SRT算法，一種通過商位查找表的非恢復方法。
相對更快的算法[編輯]
快速除法的核心思想，是通過計算倒數實現除法運算，即先計算 <math>x=1/b</math> ，再通過乘法 <math>Q=a\times x</math> 得到商。此乃牛頓-拉夫森法，其數學形式為：
- <math>x_i = x_{i - 1} - \frac{f_b(x_{i - 1})}{f'_b(x_{i - 1})}</math>
其中，函數 <math>f_b(x) = 0</math> 的零點即為 <math>1/b</math>。迭代公式可簡化為：
- <math>x_i = x_{i-1} + x_{i-1} (1-b x_{i-1})</math>
為加速收斂，需對 <math>1/b</math> 進行初始估計。先將除數 <math>b</math> 的二進制指數對齊至區間 <math>[0,5;1]</math> ，再採用預計算的線性近似公式：
- <math>x_0 = \frac{48}{17} - \frac{32}{17}b\ (\simeq 2 · 82 - 1,88 b)</math>
其中係數 <math>48/17</math> 和 <math>32/17</math> 已預先存儲為常數。
牛頓-拉夫森法具有二次收斂性，誤差隨迭代次數指數級下降。對於 <math>p</math> 位精度，所需迭代次數為：
- <math>s = \log_2 \left ( \frac{p + 1}{\log_2 17} \right )</math>
欲求單精度浮點數（24位尾數），需要約3次迭代；欲求雙精度浮點數（53位尾數），則需約4次迭代。
牛頓-拉夫森法偽代碼如下：
fonction [Q] = diviser(a, b)
e := exposant(b) // b = M*2^e (représentation en virgule flottante)
b' := b/2^{e + 1} // normalisation ; peut se faire par un décalage de e+1 bits à droite
a' := a/2^{e + 1} // 0.5 <= b <= 1 ; a'/b' = a/b
X := 48/17 - 32/17*b' // initialisation de la méthode de Newton
pour i = 1 → s // s précalculé en fonction du nombre p de bits de la mantisse
X := X + X*(1 - b*X)
fin
Q := a'*X
retourne[Q]
fin
至於高施密特法，則是基於倒數逼近原理實現除法運算。其核心思想是通過構造因子序列
- <math>F_k=f_k\times f_{k-1}\times \ldots f_1 =\prod(f_i) </math>
使得歸一化後的除數b滿足收斂條件
- <math>b_k=F_k \times b \Longrightarrow 1</math>。
整除[編輯]
整除是數學中兩個自然數之間的一種關係。自然數<math>a</math>可以被自然數<math>b</math>整除，是指<math>b</math>是<math>a</math>的因數，且a是b的整數倍數，也就是<math>a</math>除以<math>b</math>沒有餘數。
- <math>a \div b = q \dots 0</math>
因數判別法可參照整除規則。
表示方法[編輯]
<math>b \mid a</math>表示<math>b</math>整除<math>a</math>，即<math>a</math>是<math>b</math>的倍數，<math>b</math>是<math>a</math>的因數。
舉例[編輯]
<math>15</math>可以被<math>5</math>整除，記作<math>5 \mid 15</math>。
<math>20</math>不能被<math>6</math>整除（因為餘數為<math>2</math>），記作<math>6 \nmid 20</math>。在<math>\mid</math>上加一條斜線即表示不整除。
運算方法[編輯]
根據乘數表，兩個整數可以用長除法（直式除法）筆算。如果被除數有分數部分（或者說時小數點），計算時將小數點帶下來就可以；如果除數有小數點，將除數與被除數的小數點同時移位，直到除數沒有小數點。
算盤也可以做除法運算。
長除法[編輯]
長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。
使用長除法計算<math>{ {1260257}\div {37} } = 34061 </math>的過程可以表示為：
- <math>
\begin{array}{l} 37 \ \big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \! \! \! \! \! \begin{array}{r} 34061 \\ \hline \ 1260257 \\ 111 \quad \quad \\ \hline 150 \quad \ \ \\ 148 \quad \ \ \\ \hline 225 \ \ \\ 222 \ \ \\ \hline 37 \\ 37 \\ \hline 0 \\ \end{array} </math>
短除法[編輯]
短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。
- 使用短除法計算<math>3 \div 7</math>的近似值：
- <math>
\begin{array}{r} 7 \ | \! \underline{\, \ 3.00000000000000000 \dots \ } \\ 0.42857142857142857 \dots \ \end{array} </math>
- 使用短除法計算<math>420</math>的質因數分解：
- <math>
\begin{array}{r} 2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \ } \\ 2 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \ } \\ 3 \ | \! \underline{\, \ 105 \ } \\ 5 \ | \! \underline{\, \ 35 \ } \\ 7 \ \end{array} </math>
- <math>420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7</math>
- <math>
\begin{array}{r} 2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \quad 270 \ } \\ 3 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \quad 135 \ } \\ 5 \ | \! \underline{\, \ 70 \quad \ \ 45 \ } \\ 14 \quad \ \ \ \ 9 \ \end{array} </math>
- <math>
\begin{cases} \gcd(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \\ \operatorname{lcm}(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 \times 14 \times 9 = 3780 \end{cases} </math>
尺規作圖法[編輯]
類似於乘法、冪運算和平方根，除法同樣可以用尺規作圖來表示。下文將展示兩種不同的操作方法：
一種方法是作圓法。
兩幅附圖分別展示了一種簡潔解法，該解法同時適用於 <math>a:b</math> 及其倒數 <math>b:a</math> 。圖中的虛線圓和弧並非解題所需，而憑通過弦定理，更清晰地展示證明過程。為方便對比，圖中各點的命名與弦定理引言圖一致。
以下僅針對<math>a<b</math> 的情況（圖1）說明構造步驟（至於 <math>a>b</math> 的情況，見圖2）：
<math>a<b</math> 時的尺規作圖構造
<math>a>b</math> 時的尺規作圖構造
- 在數軸上，將長度 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的兩條共線線段分別標記為線段 <math>\overline{DS}</math> 和 <math>\overline{SB}</math> ；
- 過點 <math>S</math> 作 <math>\overline{DB}</math> 的垂線，並作一條與 <math>\overline{DB}</math> 距離為1的平行線，兩線交於點 <math>C</math> 。為確定過點 <math>C</math> 的弧 <math>k_b</math> 的圓心 <math>M</math> ，需作弦 <math>\overline{DC}</math> 和 <math>\overline{CB}</math> 的兩條中垂線（圖中未畫出）；
- 繪製弧 <math>\mathrm{arc}\; MBD</math> ，其與另一輔助線交於點 <math>E</math> ；
- 連接點 <math>D</math> 和 <math>E</math> ，該連線與過 <math>C</math> 作的垂線交於 <math>C'</math> ；
- 從點 <math>B</math> 出發，作過 <math>E</math> 的射線，直至其與過 <math>C</math> 作的垂線交於 <math>C</math> 。
至此，構造基本完成。為避免出現重疊， <math>\overline{FD}</math> 與 <math>\overline{CS}</math> 的長度關係需單獨說明。
對圖1的證明：
在以 <math>M'</math> 為圓心的圓 <math>k_2</math> 中應用弦定理可得：
- <math>\overline{A'S} \cdot \overline{C'S} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow </math>
- <math>a:b = \overline{C'S} = \frac{\overline{BS}\cdot\overline{DS}}{\overline{A'S}}.</math>
在以 <math>M</math> 為圓心的圓 <math>k_3</math> 中應用弦定理可得：
- <math>\overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow </math>
- <math>b:a = \overline{CS} = \overline{FD} = \frac{\overline{BS}\cdot\overline{DS}}{\overline{AS}}.</math>
另一種方法是利用截線定理，用尺規作全等三角形。（圖3）具體步驟如下：
<math>a / b</math> 時的尺規作圖構造
- 自點 <math>A</math> 引出第一條射線；
- 在該射線上，以 <math>A</math> 為起點，先截取長度為 <math>1</math> 的線段 <math>\overline{AE}</math> ，再截取長度為 <math>b</math> 的線段 <math>\overline{AB}</math> ；
- 自點 <math>B</math> 出發，在與 <math>\overline{AB}</math> 成任意角 <math>\alpha</math> 的方向上截取長度為 <math>a</math> 的線段 <math>\overline{BD}</math> ；
- 過點 <math>D</math> 作自點 <math>A</math> 引出的第二條射線；
- 自點 <math>E</math> 作與 <math>\overline{BD}</math> 平行的直線，該直線與第二條射線的交點 <math>C</math> 所對應的線段 <math>\overline{EC}</math> 即為所求商 <math>\frac{a}{b}</math> 的長度。
關於「除以零」[編輯]
「除以零」有意義嗎？[編輯]
在標準數學體系中，除以零被定義為「未定義」操作，因其與「零乘任何有限數恆為零」相悖[4]，計算器輸入此類表達式也會報錯。但在零環和輪代數等高階數學結構中，通過重新定義運算規則，除以零可被賦予特定意義。
1 : 0 是否等於∞?[編輯]
部分人認為，這個問題應當賦予「∞」的解，因為經驗表明，當分配者數量趨近於零時，每個個體獲得的量會趨向無限。然而，這種直覺在數學體系中會引發根本性矛盾。
首先，引入「∞」這一「值」將導致環及其算術體系的瓦解。具體表現為：
- 傳統算術運算規則失效（如 ∞ <math>-</math> ∞ 未定義）
- 出現大量不定式（如<math>1 : 0</math>型表達式）
- 需另外建立特殊處理法則
其次，通過極限理論，在x=0處，函數 <math>\tfrac{1}{x}</math> 同時具有正負兩個方向的發散趨勢：
- 右極限：<math>\lim_{x\to +0} \tfrac{1}{x} = +\infty.</math>
- 左極限：<math>\lim_{x\to -0} \tfrac{1}{x} = -\infty.</math>
由於正負無窮不可比較，該點不存在傳統意義上的極限值。
而且，在有理數集 <math>\Q</math> 和實數集 <math>\R</math> 中，引入無窮大會破壞原有序關係，導致比較運算的邏輯悖論。
最後，直接承認方程 <math>0 \cdot x = 1</math> 無解具有顯著優勢：
接受該方程無解的樸素事實，並藉助分析學工具（如洛必達法則）處理相關問題，是更為合理且自洽的解決方案。
參見[編輯]
參考資料[編輯]
- ^ 6. Writing Systems and Punctuation (PDF). The Unicode® Standard: Version 10.0 – Core Specification. Unicode Consortium. June 2017: 280, Obelus [2025-07-29]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-10-04）.
- ^ 引用錯誤：沒有為名為
Cajori的參考文獻提供內容 - ^ Smith, David Eugene. History Of Mathematics Vol II. Ginn And Company. 1925.
- ^ http://mathworld.wolfram.com/DivisionbyZero.html 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2018-10-23. Retrieved October 23, 2018
