正割

正割
File:Sec.svg
性质
奇偶性	偶
定义域	<math>\left\{x\in\mathbb{R}
到达域	<math>\left
周期	<math>2\pi</math> （360°）
特定值
当x=0	1
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	<math>x=\left( 2k+1\right)\tfrac{\pi}{2}</math> （x=180°k+90°）
根	无实根
临界点	<math>k\pi</math> （180°k）
不动点	当x轴为弧度时： -2.07393280909121... （-118.827596954637699...°） -4.487669603341... （-257.12452812059255...°） 4.9171859252871... （281.734000600083215...°） 7.72415319239641... （442.5613782368157...°） ... 当x轴为角度时： -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...°
k是一个整数。

正割（secant，<math>\sec</math>）是三角函数的一种。它的定义域是不含<math>k\pi+\tfrac{\pi}{2}</math>（或180°k+90°，其中<math>k</math>为整数）的整个实数集，值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为<math>2 \pi</math>（360°）。

正割是三角函数的正函数（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在<math>2k \pi</math>（360°k）到<math>2 k \pi + \frac{\pi}{2}</math>（360°k+90°）的区间之间，函数是递增的，另外正割函数和余弦函数互为倒数。

在单位圆上，正割函数位于割线上，因此将此函数命名为正割函数。

和其他三角函数一样，正割函数一样可以扩展到复数。

符号史

正割的数学符号为<math>\sec</math>，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

File:Rtriangle.svg

直角三角形，<math>\angle C</math>为直角，<math>\angle A</math>的角度为 <math> \theta </math>， 对于<math>\angle A</math>而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角<math>\angle A</math>的正割定义为它的斜边与邻边的比值，也就是：

<math> \sec \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\,\!</math>

可以发现其定义和余弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的距离，则<math>\alpha</math>的正割定义为：

<math>\sec \alpha = \frac{r}{x}\,\!</math>

单位圆定义

File:Unit circle angles.svg

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角<math>\theta</math>，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于<math>\sin \theta</math>。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了<math>\sec \theta =\frac{1}{x}</math>。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于<math>2\pi</math>（360°）或小于<math>-2\pi</math>（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为<math>2\pi</math>（360°）的周期函数：

<math>\sec\theta = \sec\left(\theta + 2\pi k \right) = \sec\left(\theta + 360^\circ k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何整数<math>k</math>。

与其他函数定义

正割函数和余弦函数互为倒数

即：

<math>\sec x = \frac{1}{\cos x}</math>

级数定义

正割也能使用泰勒级数来定义：

<math>\sec x = 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5 x^4}{24}+\frac{61 x^6}{720}+\frac{277 x^8}{8064}+\frac{50521 x^{10}}{3628800}+...=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{E_n}{(2n)!} x^{2n}.</math>

其中<math>E_n</math>为欧拉数。

另外，我们也有

<math>\sec x =4\pi\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n(1-2n)}{(2n\pi-\pi)^2-4x^2}=4\pi \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n(1+2n)}{(\pi+2n\pi)^2-4x^2}.</math>

微分方程定义

<math>\sec 'x\ = \sec x\tan x</math>

<math>\sec x =\left( \ln \left |\sec x + \tan x\right | \right) '</math>

指数定义

<math>\sec \theta = \frac{2}{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,</math>

恒等式

用其它三角函数来表示正割

函数	<math>\sin</math>	<math>\cos</math>	<math>\tan</math>	<math>\cot</math>	<math>\sec</math>	<math>\csc</math>
<math>\sec \theta </math>	<math> {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math>	<math> {1 \over \cos \theta} </math>	<math> \sqrt{1 + \tan^2\theta} </math>	<math> {\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta} </math>	<math>\sec\theta\ </math>	<math> {\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}} </math>

和差角公式

<math>\sec(\theta\pm\psi)=\frac{\sec\theta\sec\psi} {1\mp\tan\theta\tan\psi}

</math>

巴罗的正割积分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的积分

<math>\int_0^{\phi}\sec t \, dt = \ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)</math>

参见

• 正弦
• 余弦
• 正切
• 余切
• 余割
• 三角学
• 三角函数
• 函数
• 正弦波