余割

余割
File:Csc.svg
性质
奇偶性	奇
定义域	<math>\left\{x\in\mathbb{R}
到达域	<math>\left
周期	<math>2\pi</math> （360°）
特定值
当x=0	∞
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	<math>x=k\pi</math> （x=180°k）
根	无实根
临界点	<math>k\pi-\tfrac{\pi}{2}</math> （180°k-90°）
不动点	当x轴为弧度时： ±1.11415714087193... （±63.8365018863243...°） ±2.77260470826599... （±158.858548041742...°） ±6.4391172384172... （±368.934241551242...°） ... 当x轴为角度时： ±7.5804535084227...° ±179.6811235695917...° ±360.15908484761767...° ...
k是一个整数。

余割（Cosecant，<math>\csc</math>）是三角函数的一种。它的定义域不是<math>k\pi</math>（或180°k，其中<math>k</math>为整数）的整个实数集，值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为<math>2 \pi</math>（360°）。

余割是三角函数的余函数（余弦、余切、余割、余矢）之一，所以在<math>2k \pi</math>（360°k）到<math>2 k \pi + \frac{\pi}{2}</math>（360°k+90°）的区间之间，函数是递减的，另外余割函数和正弦函数互为倒数。

在单位圆上，余割函数位于割线上，因此将此函数命名为余割函数。

和其他三角函数一样，余割函数一样可以扩展到复数。

符号史

余割的符号为<math>\csc</math>，取自英文cosecant，其又源于拉丁文的cosecans及secans complementi。

定义

直角三角形中

File:Rtriangle.svg

直角三角形，<math>\angle C</math>为直角，<math>\angle A</math>的角度为 <math> \theta </math>， 对于<math>\angle A</math>而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角<math>\angle A</math>的余割定义为它的斜边与对边的比值，也就是：

<math> \csc \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{a}}</math>

其定义与正弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设<math>\alpha</math>是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的距离，则<math>\alpha</math>的余割定义为：

<math>\csc \alpha = \frac{r}{y}</math>

单位圆定义

File:Unit circle angles.svg

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角<math>\theta</math>，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于<math>\sin \theta</math>。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了<math>\csc \theta = \frac{1}{y}</math>。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于<math>2\pi</math>（360°）或小于<math>-2\pi</math>（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，余割变成了周期为<math>2\pi</math>（360°）的周期函数：

<math>\csc\theta = \csc\left(\theta + 2\pi k \right) = \csc\left(\theta + 360^\circ k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何整数<math>k</math>。

与其他函数定义

余割函数和正弦函数互为倒数

即：

<math>\csc x = \frac{1}{\sin x}</math>

级数定义

余割也能使用泰勒级数来定义：

<math>\csc x = \frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7 x^3}{360}+\frac{31 x^5}{15120}+\frac{127 x^7}{604800}+\frac{73 x^9}{3421440}+...=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}.</math>

其中<math>B_{2n}</math>为伯努利数。

另外，我们也有

<math>\csc x=\frac{1}{x}+2x\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n}{-n^2 \pi^2+x^2} .</math>

微分方程定义

<math>\csc ' x=-\csc x \cot x</math>

<math>\csc x =\left( \ln \left |\csc x - \cot x\right | \right) '</math>

指数定义

<math>\csc \theta = \frac{2\mathrm{i}}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,</math>

恒等式

和差角公式

<math>\csc(\theta\pm\psi)=\frac{\csc\theta\csc\psi}{\cot\psi\pm\cot\theta}</math>

参见

• 正弦
• 余弦
• 正切
• 余切
• 正割
• 三角学
• 三角函数
• 函数
• 正弦波