值域

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在数学中，函数的值域是由定义域中一切元素所能产生的所有函数值的集合。有时候也称为函数的像。

给定函数<math>f: A\rightarrow B</math>，集合<math>f(A)</math>被称为是<math>f</math>的值域，记为<math>R_{f}</math>。值域不应跟陪域<math>B</math>相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。

例子

假设函数<math>f</math>为定义在实数上的函数：

<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>

定义为

<math>f:x\mapsto x^2</math>

<math>f</math>的陪域为<math>\mathbb{R}</math>，但明显地<math>f(x)</math>不会取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合<math>\mathbb{R}^+\cup\{0\}</math>，即区间<math>[0,\infty)</math>：

<math>0\leq f(x)<\infty</math>。

求法

基本方法

初等函数的值域求法一般为：

1. 观察法
2. 不等式法
3. 反函数法
4. 复合函数法
5. 配方法
6. 判别式法
7. 图像求值

观察法

例如：<math>y=3-\sqrt{x}</math>

由<math>\sqrt{x}\ge 0</math>

<math>\Rightarrow -\sqrt{x} \le 0</math>

所以值域为<math>(-\infty, 3]</math>。

反函数法

先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如：<math>y=\sqrt[3]{x}</math>

它的反函数为<math>x=y^3</math>

反函数的定义域为：<math>(-\infty, +\infty)</math>

则原函数<math>y=\sqrt[3]{x}</math>的值域为：<math>(-\infty, +\infty)</math>

配方法

主条目：配方法

图像求值

画出连续函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。

相关条目

• 陪域
• 定义域
• 单射
• 满射
• 双射