反正割
| 性质 | |
| 奇偶性 | 非奇非偶 |
| 定义域 | <math>\left\{x\in\mathbb{R}:\left |
| 到达域 | <math>\left\{y\in\mathbb{R}:0\le y\le\pi\land y\ne\frac{\pi}{2}\right\}</math> <math>\left\{y\in\mathbb{R}:0\le y\le\pi\land y\ne 90^\circ\right\}</math> |
| 周期 | N/A |
| 特定值 | |
| 当x=0 | 不存在[注 1] |
| 当x=+∞ | <math>\frac{\pi}{2}</math> （90°） |
| 当x=-∞ | <math>\frac{\pi}{2}</math> （90°） |
| 当x=1 | 0 |
| 当x=-1 | <math>\pi</math> （180°） |
| 其他性质 | |
| 渐近线 | <math>y=\frac{\pi}{2}</math> （y=90°） |
反正割（英语：arcsecant[2]、记为：<math>\arcsec</math>或<math>\sec^{-1}</math>）是一种反三角函数[3]，对应的三角函数为正割函数，用来计算已知斜边与邻边的比值求出其夹角大小的函数，是高等数学中的一种基本特殊函数，其输入值与反余弦互为倒数。
由于正割函数在实数上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反正割是单射也是可逆的，由于限制正割函数的定义域在<math>[0,\pi]</math>（[0, 180°]）时，其值域是全体实数，但在区间<math>[-1,1]</math>不存在。
符号[编辑]
反正割一般记为<math>\sec^{-1}z</math>[4]或<math>\arcsec z</math>[5][6][7][8]，以表示正割的反函数。也有以大写书写的版本Arcsec z[9]和Sec−1 z一般用于表示多值函数[5]。在符号<math>\sec^{-1}z</math>上的上标-1是表示反函数，而不是乘法逆元素。但根据ISO 31-11应将反正切函数记为<math>\arcsec z</math>，因为<math>\sec^{-1}</math>可能会与<math>\frac{1}{\sec}</math>混淆，<math>\frac{1}{\sec}</math>是余弦函数。
定义[编辑]
原始的定义是将正割函数限制在<math>[0 , \pi]</math>（[0, 180°]）的反函数
在复变分析中，反正割是这样定义的：
- <math>\arcsec x = z \right| \ge 1
\end{align} </math> 反正割函數的泰勒展開式為：
- <math>
\arcsec x= \frac\pi2-\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}x^{-2n-1}= \frac\pi2-\frac{1}{x\frac{1}{6x^3}-\frac{3}{40x^5}-\frac{5}{112x^7}-\cdots </math>
参见[编辑]
注释[编辑]
参考文献[编辑]
- ↑ 反正割在x=0的极限 wolframalpha.com [2014-08-08]
- ↑ 反正割arcsecant-学术名词资讯 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 国家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
- ↑ Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
- ↑ Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
- ↑ 5.0 5.1 Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing （页面存档备份，存于互联网档案馆）. New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
- ↑ Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science （页面存档备份，存于互联网档案馆）. New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998.
- ↑ Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000.
- ↑ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.
- ↑ Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987.
